Considere a seguinte função f: R^2 R :
f(x, y)=c x^3 y^2x^4+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y) neq(0,0)
(1,0 ponto) a) Mostre que existe partial fpartial v(0,0), para todo v in R^2. Calcule partial fpartial v(0,0), em que v=(v1, v2).
( 1,0 ponto) b) A igualdade lang<=nabla f(0,0), vrang<==partial fpartial v(0,0) é sempre válida? Prove ou dê um contraexemplo.
(0,5 ponto ) c) A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3y^2x^4+y^4,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede: (a) mostrar que existe partial f/partial v(0,0) para todo v=(v1,v2) e calculá-la; (b) verificar se sempre vale lang<=nabla f(0,0),vrang<==partial f/partial v(0,0); (c) decidir se f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar definição de derivada direcional, relação com gradiente e teste de diferenciabilidade via o resto.

Passo 2

Pela definição de derivada direcional em (0,0) na direção v,
partial fpartial v(0,0) =limtto0f(tv)-f(0,0)t =limtto0f(tv)t
Para vneq(0,0) temos
f(tv) =(tv1)^3,(tv2)^2(tv1)^4+(tv2)^4 =t^5,v1^3v2^2t^4,(v1^4+v2^4) =t;v1^3v2^2v1^4+v2^4
Logo
partial fpartial v(0,0) =limtto0l(v1^3v2^2v1^4+v2^4r) =v1^3v2^2v1^4+v2^4
Para v=(0,0) a derivada direcional é zero trivially.

Passo 3

As derivadas parciais são os casos v=(1,0) e v=(0,1): em ambos o quociente acima dá zero, logo
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0,
e o candidato a gradiente é nabla f(0,0)=(0,0). Então
lang<=nabla f(0,0),vrang<==0 para todo v, mas em geral
partial f/partial v(0,0)=v1^3v2^2/(v1^4+v2^4)neq0. Por exemplo, se v=(1,1),
partial f/partial v(0,0)=1/2, enquanto
lang<=(0,0),(1,1)rang<==0. Portanto a igualdade não vale sempre.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0) precisaríamos
f(x,y)-underbrace[f(0,0)+lang<=nabla f(0,0),(x,y)rang<=]=0 =ol(raizx^2+y^2r)
Em particular, sobre a reta x=y=t temos
f(t,t)=t^52t^4= t2,
e
l|f(t,t)r|/raiz2t^2=(t/2)/(traiz2)=1/(2raiz2)notto0.
Isso impede o resto de ser o(raizx^2+y^2), logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) Para todo v=(v1,v2)neq(0,0),
partial fpartial v(0,0) =v1^3v2^2v1^4+v2^4,
e para v=(0,0) vale 0.
(b) Não: como mostra o contraexemplo v=(1,1), em que
partial f/partial v(0,0)=1/2 mas
lang<=nabla f(0,0),vrang<==0.
(c) f não é diferenciável em (0,0).

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