(1,0 ponto) a) Mostre que existe partial fpartial v(0,0), para todo v in R^2. Calcule partial fpartial v(0,0), em que v=(v1, v2).
( 1,0 ponto) b) A igualdade lang<=nabla f(0,0), vrang<==partial fpartial v(0,0) é sempre válida? Prove ou dê um contraexemplo. (0,5 ponto ) c) A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique.
e pede: (a) mostrar que existe partial f/partial v(0,0) para todo v=(v1,v2) e calculá-la; (b) verificar se sempre vale lang<=nabla f(0,0),vrang<==partial f/partial v(0,0); (c) decidir se f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos usar definição de derivada direcional, relação com gradiente e teste de diferenciabilidade via o resto.
Passo 2
Pela definição de derivada direcional em (0,0) na direção v,
e o candidato a gradiente é nabla f(0,0)=(0,0). Então lang<=nabla f(0,0),vrang<==0 para todo v, mas em geral partial f/partial v(0,0)=v1^3v2^2/(v1^4+v2^4)neq0. Por exemplo, se v=(1,1), partial f/partial v(0,0)=1/2, enquanto lang<=(0,0),(1,1)rang<==0. Portanto a igualdade não vale sempre.
e l|f(t,t)r|/raiz2t^2=(t/2)/(traiz2)=1/(2raiz2)notto0.
Isso impede o resto de ser o(raizx^2+y^2), logo f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) Para todo v=(v1,v2)neq(0,0),
partial fpartial v(0,0) =v1^3v2^2v1^4+v2^4,
e para v=(0,0) vale 0.
(b) Não: como mostra o contraexemplo v=(1,1), em que partial f/partial v(0,0)=1/2 mas lang<=nabla f(0,0),vrang<==0.
(c) f não é diferenciável em (0,0).