Exercício 19 (E.M.4.39)
Um espaço métrico diz-se localmente conexo quando, para todo
e todo aberto
, existe um aberto conexo
, tal que
. Prove que
é localmente conexo se, e somente se, para todo aberto
, as componentes conexas de
são subconjuntos abertos.
Um espaço métrico diz-se localmente conexo quando, para todo
Passo 1
O enunciado fala de um espaço métrico
e da noção de localmente conexo: isto é, para todo ponto
e todo aberto
com
, existe um aberto conexo
tal que
Queremos mostrar a equivalência entre
-
é localmente conexo; - para todo aberto
, cada componente conexa de é um subconjunto aberto de .
Passo 2
Suponha que
seja localmente conexo e seja
aberto. Seja
a componente conexa de
que contém um ponto arbitrário
. Como
é aberto e
é localmente conexo, existe um aberto conexo
tal que
Como
é conexo e interseta
, pela maximalidade de
(componente conexa é o maior conjunto conexo que contém
), devemos ter
. Mas
é um vizinho aberto de
contido em
. Como
era arbitrário em
, isso mostra que
é aberto em
.
Passo 3
Agora suponha que, para todo aberto
, cada componente conexa de
seja aberta. Tomemos um ponto
e um aberto qualquer
contendo
. Considere
, a componente conexa de
que contém
. Por hipótese
é aberta, é conexa (por definição de componente) e satisfaz
Isto é exatamente a condição de que
seja localmente conexo.
Resposta
Concluímos que
é localmente conexo se, e somente se, para todo aberto
, as componentes conexas de
são abertas.