Exercício 19 (E.M.4.39)
Um espaço métrico diz-se localmente conexo quando, para todo x in M e todo aberto U ni x, existe um aberto conexo V, tal que x in V subset U. Prove que M é localmente conexo se, e somente se, para todo aberto A subset M, as componentes conexas de A são subconjuntos abertos.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço métrico M e da noção de localmente conexo: isto é, para todo ponto xin M e todo aberto Usubset M com xin U, existe um aberto conexo V tal que
xin Vsubset U
Queremos mostrar a equivalência entre
  1. M é localmente conexo;
  2. para todo aberto Asubset M, cada componente conexa de A é um subconjunto aberto de M.

Passo 2

Suponha que M seja localmente conexo e seja Asubset M aberto. Seja C a componente conexa de A que contém um ponto arbitrário xin C. Como A é aberto e M é localmente conexo, existe um aberto conexo V tal que
xin V subset A
Como V é conexo e interseta C, pela maximalidade de C (componente conexa é o maior conjunto conexo que contém x), devemos ter Vsubset C. Mas V é um vizinho aberto de x contido em C. Como x era arbitrário em C, isso mostra que C é aberto em M.

Passo 3

Agora suponha que, para todo aberto Asubset M, cada componente conexa de A seja aberta. Tomemos um ponto xin M e um aberto qualquer U contendo x. Considere C, a componente conexa de U que contém x. Por hipótese C é aberta, é conexa (por definição de componente) e satisfaz
xin C subset U
Isto é exatamente a condição de que M seja localmente conexo.

Resposta

Concluímos que M é localmente conexo se, e somente se, para todo aberto Asubset M, as componentes conexas de A são abertas.

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