Exercício 20 (E.M.4.43)
Seja (
) um espaço métrico desconexo e localmente conexo. Se
são conexos, disjuntos, não vazios e tais que
, então
e
são abertos em
.
Seja (
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço métrico desconexo e localmente conexo, e que existem
tais que
-
e são conexos, disjuntos e não vazios, -
.
Queremos mostrar quee são abertos em .
Passo 2
Seja
. Como
é localmente conexo, existe um aberto
tal que
e
é conexo. Note que
, logo
Se
, então
e
seriam dois abertos não vazios em
, contradizendo a conexão de
. Portanto
e segue que
Passo 3
Como para todo
encontramos um aberto
com
, temos
que é união de abertos em
. Logo
é aberto. De modo inteiramente análogo, para cada
existe um aberto conexo
com
, e assim
é aberto em
.