Exercício 20 (E.M.4.43)
Seja ( M, d ) um espaço métrico desconexo e localmente conexo. Se A, B são conexos, disjuntos, não vazios e tais que M=A cup B, então A e B são abertos em M.

Passo 1

O enunciado diz que (M,d) é um espaço métrico desconexo e localmente conexo, e que existem A,Bsubset M tais que
  1. A e B são conexos, disjuntos e não vazios,
  2. Acup B=M.
    Queremos mostrar que A e B são abertos em M.

Passo 2

Seja ain A. Como M é localmente conexo, existe um aberto Usubset M tal que ain U e U é conexo. Note que Usubset M=Acup B, logo
U = (Ucap A);cup;(Ucap B)
Se Ucap Bneqvarnothing, então Ucap A e Ucap B seriam dois abertos não vazios em U, contradizendo a conexão de U. Portanto Ucap B=varnothing e segue que
U subset A

Passo 3

Como para todo ain A encontramos um aberto Ua com ain Uasubset A, temos
A=cupain AUa,
que é união de abertos em M. Logo A é aberto. De modo inteiramente análogo, para cada bin B existe um aberto conexo Vb com bin Vbsubset B, e assim
B=cupbin BVb
é aberto em M.

Resposta

A e B são abertos em M.

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