Derive as seguintes funções (sem utilizar a Regra da Cadeia):
f(x)=x^pi+pi^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^pi+pi^x,
que envolve duas partes: uma potência de base x e expoente constante pi, e uma exponencial de base constante pi e expoente x. Vamos usar a regra da potência (para o primeiro termo) e a definição do derivada de a^x via limite (para o segundo termo), sem recorrer à regra da cadeia.

Passo 2

Para o termo x^pi, tratamos pi como constante e aplicamos a regra da potência:
ddxl(x^pir) =pi,x^pi-1

Passo 3

Para o termo pi^x, usamos a definição
ddxl(pi^xr) =limhto0pi^x+h-pi^xh =pi^x,limhto0pi^h-1h
Sabe-se (pela definição de logaritmo natural) que
limhto0pi^h-1h=lnpi,
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ddxl(pi^xr) =pi^x,lnpi

Passo 4

Somando as duas derivadas parciais, obtemos
f'(x) =pi,x^pi-1+pi^xlnpi

Resposta

f'(x)=pi,x^pi-1+pi^xlnpi

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