Calcule, sem usar a Regra de LHôpital, os limites abaixo. Escolha 2 entre a), b) e c).
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
sem usar a Regra de L’Hôpital. Estamos lidando com um caso do tipo
, e para resolver vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado).
Passo 2
Observando que quando
temos tanto o numerador quanto o denominador tendendo a zero, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da parte com raízes:
Multiplicando por , obtemos:
Multiplicando por
Passo 3
No denominador temos diferença de quadrados:
$$
(x{2}+2x+4)-(x{2}-2x+4)=4x.
\frac{x\bigl(\sqrt{x{2}+2x+4}+\sqrt{x{2}-2x+4}\bigr)}{4x}=\frac{\sqrt{x{2}+2x+4}+\sqrt{x{2}-2x+4}}{4},\quad x\neq0. $$
Passo 4
Como raízes quadradas são funções contínuas, basta avaliar em
:
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x{2}+2x+4}+\sqrt{x{2}-2x+4}}{4}=\frac{\sqrt{4}+\sqrt{4}}{4}=\frac{2+2}{4}=1. $$
Resposta
1