Calcule, sem usar a Regra de LHôpital, os limites abaixo. Escolha 2 entre a), b) e c).
lim x 0 xraizx^2+2 x+4-raizx^2-2 x+4

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0dfracxraizx^2+2x+4-raizx^2-2x+4 sem usar a Regra de L’Hôpital. Estamos lidando com um caso do tipo 0/0, e para resolver vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado).

Passo 2

Observando que quando xto0 temos tanto o numerador quanto o denominador tendendo a zero, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da parte com raízes:
Multiplicando por raizx^2+2x+4+raizx^2-2x+4, obtemos:
xraizx^2+2x+4-raizx^2-2x+4 ;=; xl(raizx^2+2x+4+raizx^2-2x+4r)l(raizx^2+2x+4-raizx^2-2x+4r)l(raizx^2+2x+4+raizx^2-2x+4r)

Passo 3

No denominador temos diferença de quadrados:
$$
(x{2}+2x+4)-(x{2}-2x+4)=4x. (x^2+2x+4)-(x^2-2x+4)=4x ã
\frac{x\bigl(\sqrt{x{2}+2x+4}+\sqrt{x{2}-2x+4}\bigr)}{4x}=\frac{\sqrt{x{2}+2x+4}+\sqrt{x{2}-2x+4}}{4},\quad x\neq0. $$

Passo 4

Como raízes quadradas são funções contínuas, basta avaliar em x=0:
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x{2}+2x+4}+\sqrt{x{2}-2x+4}}{4}=\frac{\sqrt{4}+\sqrt{4}}{4}=\frac{2+2}{4}=1. $$

Resposta

1

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