Considere a seguinte funçào abaixo. Sem usar a Regra de LHôpital, faça o que se pede:
f(x)=cc raiz100 x^2-x+965 x+25 & , se x <= 1 10 x^4-20 x^34 x^3+4 x^2-24 x & , se 12
Para quais valores de A e B temos f(x) continua em x=2? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) $ que é definida de maneiras diferentes dependendo do valor de $ x $. Queremos descobrir quais valores de $ A $ e $ B $ fazem com que a função seja contínua em $ x = 2 $. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções e calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando $ x $ se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando $ x $ se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
x

Passo 3

Vamos calcular $ \lim_{x \to 2^-} f(x) $. Para $ 1 < x < 2 $, a função é:
limx to 2^- f(x)
Primeiro, substituímos $ x = 2 $ para verificar se conseguimos simplificar:
1 < x < 2
Isso é uma indeterminação, então vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar.

Passo 4

Fatorando o numerador:
10x^4 - 20x^3 = 10x^3(x - 2)
Fatorando o denominador:
4x^3 + 4x^2 - 24x = 4x(x^2 + x - 6) = 4x(x + 3)(x - 2)
Agora, a função fica:
f(x) = 10x^3(x - 2)4x(x + 3)(x - 2) = 10x^34x(x + 3) = 10x^24(x + 3) = 5x^22(x + 3)

Passo 5

Agora, calculamos o limite pela esquerda substituindo $ x = 2 $:
x = 2

Passo 6

Em seguida, calculamos $ f(2) $. Pela definição da função:
f(2)

Passo 7

Agora, calculamos o limite pela direita $ \lim_{x \to 2^+} f(x) $. Para $ x > 2 $, a função é:
limx to 2^+ f(x)
Como $ x > 2 $, $ |x| = x $. Então:
x > 2

Passo 8

Para a continuidade em $ x = 2 $, igualamos os limites e o valor da função:
x = 2
limx to 2^- f(x) = f(2) = limx to 2^+ f(x)
Isso nos dá duas equações:
  1. $ B - 2 = 2 $ 2 = B - 2 = A + 2 $ B = 4 $
  2. $ A + 2 = 2 $ B - 2 = 2 $ A = 0 $

Resposta

Os valores são $ A = 0 $ e $ B = 4 $ para que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 2 $.

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