Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
. Resposta:
.
b)
.
c)
Resposta:
.
d)
.
e)
.
Resposta:
.
f)
.
g)
Resposta:
.
h)
e
.
i)
.
j)
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta:
f)
g)
h)
i)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 5y’ + 4y = e^{2t} $ usando o método das transformadas de Laplace. A gente vai precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como resolver equações algébricas que surgem após a transformação. Além disso, vamos usar as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $ para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $, e temos as seguintes propriedades para as derivadas:
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm $ Y(s) $ e os termos constantes:
Simplificando mais:
Passo 5
Isolando $ Y(s) $:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Calculando $ (s - 6)(s - 2) $:
Então:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos fatorar o denominador $ s^2 - 5s + 4 $:
Então:
Passo 8
Vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 2)(s - 1)(s - 4) $:
Passo 9
Para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, substituímos valores específicos de $ s $:
- Para $ s = 2 $:
- Para $ s = 1 $:
- Para $ s = 4 $:
Passo 10
Agora que temos $ A = -\frac{1}{2} $, $ B = 2 $ e $ C = -\frac{1}{2} $, podemos escrever:
Passo 11
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: