Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
a) y^prime prime-5 y^prime+4 y=e^2 t ; y(0)=1, y^prime(0)=-1. Resposta: y(t)=2 e^t-12 e^4 t+12 e^2 t.
b) 5 y^prime+4 y=e^2 t ; y(0)=1.
c) y^prime+6 y=e^4 t ; y(0)=2 Resposta: y(t)=110 e^4 t+1910 e^-6 t.
d) 2 y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 ; y(0)=3, y^prime(0)=-4.
e) y^prime prime+y^prime-2 y=2 t ; y(0)=0, y^prime(0)=2.
Resposta: y(t)=-12-t-12 e^-2 t+e^t.
f) y^prime prime+4 y=t^2+3 e^t ; y(0)=0, y^prime(0)=2.
g) y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t ; y(0)=0, y^prime(0)=0 Resposta: y(t)=16 t^3 e^t.
h) y^(4)-y=0, y(0)=y^prime prime(0)=1 e y^prime(0)=y^prime prime prime(0)=0.
i) y^prime prime+4 y=sen t-U2 pi(t) sen(t-2 pi), y(0)=y^prime(0)=0.
j) y^prime prime+y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 com g(t)= t, & 0 <= t<1 1, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 5y’ + 4y = e^{2t} $ usando o método das transformadas de Laplace. A gente vai precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como resolver equações algébricas que surgem após a transformação. Além disso, vamos usar as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $ para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $, e temos as seguintes propriedades para as derivadas:
y(t)
Y(s)
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Ly' = sY(s) - y(0)
Substituindo as transformadas das derivadas:
Ly'' = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -1 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = -1

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm $ Y(s) $ e os termos constantes:
Y(s)
Simplificando mais:
(s^2 - 5s + 4)Y(s) + (-s + 1 + 5) = 1s - 2

Passo 5

Isolando $ Y(s) $:
Y(s)
(s^2 - 5s + 4)Y(s) = 1s - 2 + s - 6

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
1s - 2 + s - 6 = 1 + (s - 6)(s - 2)s - 2
Calculando $ (s - 6)(s - 2) $:
(s - 6)(s - 2)
Então:
(s - 6)(s - 2) = s^2 - 8s + 12
Portanto:
1 + s^2 - 8s + 12s - 2 = s^2 - 8s + 13s - 2

Passo 7

Agora, vamos fatorar o denominador $ s^2 - 5s + 4 $:
s^2 - 5s + 4
Então:
s^2 - 5s + 4 = (s - 1)(s - 4)

Passo 8

Vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever:
s^2 - 8s + 13(s - 2)(s - 1)(s - 4) = As - 2 + Bs - 1 + Cs - 4
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 2)(s - 1)(s - 4) $:
(s - 2)(s - 1)(s - 4)

Passo 9

Para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, substituímos valores específicos de $ s $:
  • Para $ s = 2 $:
A
B
C
  • Para $ s = 1 $:
s
s = 2
2^2 - 8 cdot 2 + 13 = A(2 - 1)(2 - 4) + 0 + 0
  • Para $ s = 4 $:
4 - 16 + 13 = A(1)(-2)
1 = -2A implies A = -12
s = 1

Passo 10

Agora que temos $ A = -\frac{1}{2} $, $ B = 2 $ e $ C = -\frac{1}{2} $, podemos escrever:
A = -12

Passo 11

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
y(t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2,e^t - 12,e^4t + 12,e^2t

Exercícios relacionados