Determine a derivada das funções abaixo. ESCOLHA 1 item entre c) e d). OBS: Não é necessário simplificar a expressão obtida.
h(x)=raiz1+x^4 cdot(1+raizx)^4

Passo 1

Temos a função h(x)=raiz1+x^4,(1+raizx)^4. O conteúdo aqui é derivada de produto e cadeia: vamos usar a regra do produto para f(x)=raiz1+x^4 e g(x)=(1+raizx)^4.

Passo 2

Definindo f(x)=raiz1+x^4=(1+x^4)^1/2, aplicamos a regra da cadeia: f'(x)=tfrac12(1+x^4)^-1/2cdot4x^3=2x^3raiz1+x^4

Passo 3

Definindo g(x)=(1+raizx)^4, seja u(x)=1+raizx=1+x^1/2. Temos u'(x)=tfrac12x^-1/2=tfrac12raizx. Pela regra da cadeia: g'(x)=4u^3,u'=4(1+raizx)^3cdot12raizx=2(1+raizx)^3raizx

Passo 4

Aplicando a regra do produto: h'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)

Resposta

[ h’(x)=\frac{2x3}{\sqrt{1+x4}},(1+\sqrt{x})4+\sqrt{1+x4},\frac{2(1+\sqrt{x})^3}{\sqrt{x}} ]

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