Considere a seguinte funçåo abaixo. Sem usar a Regra de LHôpital, faça o que se pede:
f(x)=cc raiz[3]27 x^3+8x & , se x<0 x^5+2 x^4-3 x^34 x^3-4 x^2 & , se 01
b) Para quais valores de c e d temos f(x) continua em x=1 ? Justifique.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede para encontrar os valores de $ c $ e $ d $ que fazem a função $ f(x) $ ser contínua em $ x = 1 $. Isso envolve entender o que significa continuidade de funções e como calcular limites. Vamos precisar usar conceitos de limites laterais e garantir que o valor da função em $ x = 1 $ coincida com esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em $ x = a $ se três condições forem atendidas:
  1. $ f(a) $ está definida.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Aqui, queremos que $ f(x) $ seja contínua em $ x = 1 $, então precisamos verificar essas três condições para esse ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda (valores de $ x < 1 $). Para $ 0 < x < 1 $, temos:
f(x)
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
x^5 + 2x^4 - 3x^3 = x^3(x^2 + 2x - 3) = x^3(x + 3)(x - 1)
Denominador:
4x^3 - 4x^2 = 4x^2(x - 1)
Agora, podemos simplificar a fração:
f(x) = x^3(x + 3)(x - 1)4x^2(x - 1) = x^3(x + 3)4x^2 = x(x + 3)4

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda:
x

Passo 6

Em seguida, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita (valores de $ x > 1 $). Para $ x > 1 $, temos:
x
Então:
x > 1

Passo 7

Para que a função seja contínua em $ x = 1 $, os limites laterais devem ser iguais e também iguais a $ f(1) $. Ou seja:
x = 1
Substituindo os valores:
f(1)
Isso nos dá duas equações:
  1. $ 1 = -1 + d $
  2. $ 1 = c^{2} $

Passo 8

Resolvendo a primeira equação para $ d $:
d
E resolvendo a segunda equação para $ c $:
1 = -1 + d implies d = 1 + 1 implies d = 2

Resposta

Os valores que tornam $ f(x) $ contínua em $ x = 1 $ são $ c = \pm 1 $ e $ d = 2 $.

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