Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=3 y-2 x^3+y, no ponto (2,-1,-20).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície dada pela função $ z = 3y - 2x^{3} + y $ no ponto específico z = 3y - 2x^3 + y . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente as derivadas parciais, que ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. A função $ z $ pode ser reescrita assim:
z
Então, nossa função é $ z = 4y - 2x^{3} $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais mostram a taxa de variação de $ z $ quando apenas uma das variáveis muda.
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
x
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado (2, -1, -20):
  • Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ x = 2 $:
partial zpartial x
  • Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $ em $ y = -1 $:
x = 2

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, vamos usar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = partial zpartial x(x0, y0)(x - x0) + partial zpartial y(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - (-20) = (-24)(x - 2) + 4(y - (-1))
Simplificando:
z + 20 = -24(x - 2) + 4(y + 1)

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (2, -1, -20) é:
z + 20 = -24(x - 2) + 4(y + 1)

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