Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. , no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície dada pela função $ z = 3y - 2x^{3} + y $ no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente as derivadas parciais, que ajudam a entender como a função muda em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. A função $ z $ pode ser reescrita assim:
Então, nossa função é $ z = 4y - 2x^{3} $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais mostram a taxa de variação de $ z $ quando apenas uma das variáveis muda.
Derivada parcial em relação a $ x $:
Derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ x = 2 $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $ em $ y = -1 $:
x = 2
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, vamos usar a fórmula do plano tangente: