Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=y sen(x-y), no ponto (pi2, pi,-pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ z = y \cdot \sin(x - y) $ no ponto z = y cdot sin(x - y) . Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especialmente o uso de derivadas parciais para achar as inclinações do plano nos diferentes eixos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de um plano tangente. Ela geralmente tem a forma:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Aqui, $ z_0 $ é o valor de $ z $ no ponto dado, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ respectivamente, avaliadas no ponto z0 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
z
Agora, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
x
Simplificando:
y

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (pi2, pi).
Primeiro, $ f_x $ no ponto:
fx
Porque fx(pi2, pi) = pi cdot cos(pi2 - pi) = pi cdot cos(-pi2) = pi cdot 0 = 0 .
Agora, $ f_y $ no ponto:
cos(-pi2) = 0
Sabemos que fy e fy(pi2, pi) = sin(pi2 - pi) - pi cdot cos(pi2 - pi) = sin(-pi2) - pi cdot cos(-pi2) , então:
sin(-pi2) = -1

Passo 5

Agora que temos $ f_x = 0 $ e $ f_y = -1 $ no ponto fx = 0 , vamos substituir na equação do plano tangente:
fy = -1
Substituindo os valores:
(pi2, pi)
Simplificando:
z = z0 + fx(x - x0) + fy(y - y0)
z = -pi + 0 cdot (x - pi2) + (-1) cdot (y - pi)
z = -pi - (y - pi)

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (pi2, pi, -pi) é:
z = -y

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