Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ z = y \cdot \sin(x - y) $ no ponto
. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especialmente o uso de derivadas parciais para achar as inclinações do plano nos diferentes eixos. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação de um plano tangente. Ela geralmente tem a forma:
Aqui, $ z_0 $ é o valor de $ z $ no ponto dado, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $ respectivamente, avaliadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Agora, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Primeiro, $ f_x $ no ponto:
Porque
.
Agora, $ f_y $ no ponto:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora que temos $ f_x = 0 $ e $ f_y = -1 $ no ponto
, vamos substituir na equação do plano tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: