Considere a seguinte funçåo abaixo. Sem usar a Regra de LHôpital, faça o que se pede:
c) Encontre a equaçao de uma assintota horizontal e de uma assintota vertical de f(x). Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos apresenta uma função definida por partes $ f(x) $ e nos pede para encontrar a equação de uma assíntota horizontal e uma assíntota vertical dessa função, sem usar a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da função em diferentes intervalos de $ x $ e aplicar conceitos de assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ em cada um dos seus intervalos:
Para $ x < 0 $:
f(x)
Para $ 0 < x < 1 $:
x < 0
Para $ x = 1 $:
f(x) = raiz[3]27x^3 + 8x
Para $ x > 1 $:
0 < x < 1
Nosso objetivo é encontrar as assíntotas horizontal e vertical dessa função.
Passo 3
Assíntota Horizontal: É uma reta horizontal que a função se aproxima quando $ x $ tende ao infinito ou menos infinito. Para encontrá-la, analisamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ vai para $ \pm\infty $.
Assíntota Vertical: É uma reta vertical que a função se aproxima quando $ x $ se aproxima de um valor específico, geralmente onde a função não está definida.
Vamos começar encontrando a assíntota horizontal.
Passo 4
Encontrando a Assíntota Horizontal:
Vamos analisar o comportamento de $ f(x) $ para $ x $ tendendo a $ \infty $ e $ -\infty $.
Para $ x > 1 $:
f(x)
Quando $ x $ tende a $ \infty $, $ -x^{10} $ domina e tende a $ -\infty $. Isso significa que não há uma assíntota horizontal nesse intervalo.
Para $ x < 0 $:
x
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica:
infty
(pois $ 27x^3 = (3x)^3 $)
Então:
-infty
Portanto, quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ f(x) $ se aproxima de 3.
Isso nos indica que há uma assíntota horizontal em $ y = 3 $.
Passo 5
Encontrando a Assíntota Vertical:
Para encontrar uma assíntota vertical, buscamos valores de $ x $ que fazem o denominador da função igual a zero, causando indefinição.
Analisemos cada parte onde a função é uma fração:
Para $ x < 0 $:
x
O denominador $ x = 0 $ não está no intervalo $ x < 0 $, então não há assíntota vertical aqui.
Para $ 0 < x < 1 $:
x < 0
Vamos igualar o denominador a zero:
f(x) = raiz[3]27x^3 + 8x
As soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Dentro do intervalo $ 0 < x < 1 $, apenas $ x = 1 $ está próximo, mas $ x = 1 $ está definido separadamente na função. Portanto, não há uma assíntota vertical dentro desse intervalo.
Portanto, não há assíntota vertical na função $ f(x) $.
Resposta
A função $ f(x) $ possui uma assíntota horizontal na reta $ y = 3 $ e não apresenta assíntota vertical.