Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua [X) :
f(x)= \begin{cases}0,25 x & \text { se } 0 \leq x<2 \\\\ 1-0,25 x & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Calcule a (P(0,5<X<1,5)].
Passo 1
O enunciado pede para calcular a probabilidade P(0,5<X<1,5)\) onde a função densidade de probabilidade \(f\) é dada por:
\[f(x)= \begin{cases}0{,}25\,x & \text{se } 0 \leq x<2,\\[4pt] 1-0{,}25\,x & \text{se } 2 \leq x \leq 4,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
A variável X\] é contínua.
- A densidade é definida por dois ramos em \([0,2) e [2,4].
- Queremos a probabilidade no intervalo aberto (0{,}5,\,1{,}5).]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
Para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X cair em um intervalo (a,b) é a área sob a curva de f entre a e b:
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui a e b são os limites do intervalo (no nosso caso a=0{,}5 e b=1{,}5), f(x) é a função densidade e dx indica integração em relação à variável x.
A ideia intuitiva: somar (integrar) as alturas f(x) ao longo do intervalo para obter a área total, que é a probabilidade.
Passo 3
Determinar que expressão de f(x) usar no intervalo pedido:
O intervalo (0{,}5,\,1{,}5) está contido em [0,2).
Portanto, para todo x entre 0{,}5 e 1{,}5 usamos o ramo \,f(x)=0{,}25\,x.