Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua [X) :
f(x)= \begin{cases}0,25 x & \text { se } 0 \leq x<2 \\\\ 1-0,25 x & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}á
Calcule a (P(0,5<X<1,5)].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade P(0,5<X<1,5)\) onde a função densidade de probabilidade \(f\) é dada por: \[f(x)= \begin{cases}0{,}25\,x & \text{se } 0 \leq x<2,\\[4pt] 1-0{,}25\,x & \text{se } 2 \leq x \leq 4,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável X\] é contínua. - A densidade é definida por dois ramos em \([0,2) e [2,4].
    - Queremos a probabilidade no intervalo aberto (0{,}5,\,1{,}5).]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para uma variável aleatória contínua com densidade f(x), a probabilidade de X cair em um intervalo (a,b) é a área sob a curva de f entre a e b:
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Aqui a e b são os limites do intervalo (no nosso caso a=0{,}5 e b=1{,}5), f(x) é a função densidade e dx indica integração em relação à variável x.
  • A ideia intuitiva: somar (integrar) as alturas f(x) ao longo do intervalo para obter a área total, que é a probabilidade.

Passo 3

Determinar que expressão de f(x) usar no intervalo pedido:
  • O intervalo (0{,}5,\,1{,}5) está contido em [0,2).
  • Portanto, para todo x entre 0{,}5 e 1{,}5 usamos o ramo \,f(x)=0{,}25\,x.

Passo 4

Montar e calcular a integral passo a passo:
  • Aplicando a fórmula,
P(0{,}5<X<1{,}5)=\int_{0{,}5}^{1{,}5} 0{,}25\,x \,dx.
  • Podemos colocar a constante 0{,}25 em evidência:
\int_{0{,}5}^{1{,}5} 0{,}25\,x \,dx = 0{,}25 \int_{0{,}5}^{1{,}5} x \,dx.
  • Antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Assim,
0{,}25 \int_{0{,}5}^{1{,}5} x \,dx = 0{,}25 \left[ \dfrac{x^{2}}{2} \right]_{0{,}5}^{1{,}5}.
  • Simplificando a constante: 0{,}25\cdot\dfrac{1}{2}=0{,}125. Então
0{,}125\left[ x^{2} \right]_{0{,}5}^{1{,}5} = 0{,}125\bigl( (1{,}5)^{2} - (0{,}5)^{2}\bigr).
  • Calcule os quadrados: (1{,}5)^{2}=2{,}25 e (0{,}5)^{2}=0{,}25. A diferença é 2{,}25-0{,}25=2{,}0.
  • Multiplicando: 0{,}125 \times 2{,}0 = 0{,}25.

Passo 5

Verificação rápida (bônus didático): mostrar que a função é verdadeiramente uma densidade (soma das áreas = 1)
  • Integral no primeiro ramo:
\int_{0}^{2} 0{,}25\,x\,dx = 0{,}125 \left[x^{2}\right]_{0}^{2} = 0{,}125\cdot 4 = 0{,}5.
  • Integral no segundo ramo:
\int_{2}^{4} \bigl(1-0{,}25\,x\bigr)dx = \left[x - 0{,}125x^{2}\right]_{2}^{4}.
Calcule:
\bigl(4 - 0{,}125\cdot 16\bigr) - \bigl(2 - 0{,}125\cdot 4\bigr) = (4-2) - (2-0{,}5) = 2 - 1{,}5 = 0{,}5.
  • Soma das duas áreas: 0{,}5+0{,}5=1. Perfeito — é uma densidade válida.

Resposta

0{,}25

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