Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X :
f(x)= \begin{cases}0,06+0,04 x & \text { para } 1 \leq x \leq 6 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}á
Calcule a P(2<X<3).

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade
f(x)= \begin{cases}0,06+0,04x & \text{ para } 1 \leq x \leq 6, \\[4pt] 0 & \text{ caso contrário.} \end{cases}á
O que se pede: calcular a probabilidade \,P(2<X<3).
Informações relevantes dadas:
  • A função f(x) vale \,0,06+0,04x no intervalo [1,6].
  • Fora desse intervalo f(x)=0.
  • A probabilidade pedida é para o intervalo aberto (2,3), que está contido em [1,6], logo podemos usar f(x)=0,06+0,04x no cálculo.]

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicando como funciona): para uma variável aleatória contínua X com densidade f, a probabilidade de X estar entre a e b é a integral definida da densidade entre esses limites. Ou seja,
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui f(x) é a função que descreve a “densidade de probabilidade” (a área sob f em um intervalo é a probabilidade desse intervalo). O símbolo dx indica que estamos integrando em relação a x. Então aplicamos isso com a=2 e b=3.

Passo 3

Escrevendo a integral específica:
P(2<X<3)=\int_{2}^{3} f(x)\,dx=\int_{2}^{3} \bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx.
Aqui substituímos f(x) pelo seu valor no intervalo [2,3], que pegamos do enunciado.

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) de 0,06+0,04x. Regras usadas:
  • A integral de uma constante c é cx.
  • A integral de x é \tfrac{x^2}{2} (regra da potência).
    Aplicando:
\int \bigl(0,06+0,04x\bigr)\,dx = 0,06x + 0,04\cdot\frac{x^2}{2} + C = 0,06x + 0,02x^2 + C.
Portanto uma primitiva válida é F(x)=0,06x+0,02x^2.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F:
P(2<X<3)=F(3)-F(2).
Calcule F(3) e F(2) passo a passo:
F(3)=0,06\cdot 3 + 0,02\cdot 3^2 = 0,18 + 0,02\cdot 9 = 0,18 + 0,18 = 0,36,
F(2)=0,06\cdot 2 + 0,02\cdot 2^2 = 0,12 + 0,02\cdot 4 = 0,12 + 0,08 = 0,20.
Agora a diferença:
P(2<X<3)=0,36 - 0,20 = 0,16.

Passo 6

Interpretação final e incentivo breve: o valor 0,16 é a área sob a curva f(x) entre x=2 e x=3, ou seja, a probabilidade pedida. Bom trabalho — passo a passo assim é exatamente o que normalmente se pede na prova; mantenha essa rotina de transformar a pergunta em uma integral e calcular a primitiva.

Resposta

0,16

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