Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua [X) :
f(x)= \begin{cases}0,25 x & \text { se } 0 \leq x<2 \\\\ 1-0,25 x & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}á
Calcule a (P(1<X<3)].

Passo 1

O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade f\) da variável contínua \(X\), definida por partes: \[f(x)= \begin{cases}0,25\,x & \text{se } 0 \leq x<2,\\[4pt] 1-0,25\,x & \text{se } 2 \leq x \leq 4,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
O que nos pedem é calcular a probabilidade
P(1<X<3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é positiva apenas em [0,4]\] e é dada por expressões diferentes em \([0,2) e em [2,4].
  • O intervalo pedido (1,3) cruza o ponto x=2, onde a definição da densidade muda. Portanto será necessário quebrar a integral em duas partes: de 1 até 2 e de 2 até 3.]

Passo 2

Lembrete rápido da teoria (sem jargões): para uma variável aleatória contínua com densidade f, a probabilidade de X cair num intervalo (a,b) é a integral da densidade nesse intervalo:
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui vamos aplicar isso com a=1 e b=3. Como f é definida por partes e muda em x=2, escrevemos:
P(1<X<3)=\int_{1}^{2} 0,25\,x\,dx \;+\; \int_{2}^{3} \bigl(1-0,25\,x\bigr)\,dx.
Explico: a primeira integral usa a fórmula de f válida para 0\le x<2; a segunda usa a fórmula válida para 2\le x\le4.

Passo 3

Calcular a primeira integral. Primeiro encontro uma primitiva (antiderivada) de 0,25\,x. Como a primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, multiplicando por 0,25 obtemos:
\int 0,25\,x\,dx = 0,25\cdot \frac{1}{2}x^{2} = 0,125\,x^{2}.
Agora avalio de 1 a 2:
\int_{1}^{2} 0,25\,x\,dx = \bigl[0,125\,x^{2}\bigr]_{1}^{2} = 0,125\cdot(2^{2}-1^{2}) = 0,125\cdot(4-1)=0,125\cdot 3 = 0,375.
Também posso escrever 0,375=\tfrac{3}{8}.

Passo 4

Calcular a segunda integral. Primeiro encontro uma primitiva de 1-0,25\,x. A primitiva de 1 é x e a primitiva de -0,25\,x é -0,125\,x^{2}. Logo:
\int \bigl(1-0,25\,x\bigr)\,dx = x - 0,125\,x^{2}.
Agora avalio de 2 a 3:
\int_{2}^{3} \bigl(1-0,25\,x\bigr)\,dx = \bigl[x-0,125\,x^{2}\bigr]_{2}^{3}.
Calculo os valores:
\text{em }x=3:\; 3 - 0,125\cdot 9 = 3 - 1,125 = 1,875,
\text{em }x=2:\; 2 - 0,125\cdot 4 = 2 - 0,5 = 1,5.
Subtraindo,
\int_{2}^{3} \bigl(1-0,25\,x\bigr)\,dx = 1,875 - 1,5 = 0,375.
Novamente 0,375=\tfrac{3}{8}.

Passo 5

Somar as duas contribuições para obter a probabilidade total no intervalo (1,3):
P(1<X<3)=0,375 + 0,375 = 0,75.
Em fração isso é \tfrac{3}{4}.

Passo 6

(Comentário motivador rápido) Beleza — deu um resultado simpático: as duas metades deram o mesmo valor 0,375. Isso aconteceu porque a densidade é construída de modo simétrico em torno de x=2 (uma rampa subindo até 2 e outra rampa decaindo a partir de 2), então o intervalo (1,2) e o intervalo (2,3) acabaram contribuindo igualmente. Você conseguiu: integrar e juntar as peças é a técnica que serve para qualquer pdf por partes.

Resposta

\tfrac{3}{4}=0,75

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