Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua [X) :
f(x)= \begin{cases}0,25 x & \text { se } 0 \leq x<2 \\\\ 1-0,25 x & \text { se } 2 \leq x \leq 4 \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Calcule a (P(1<X<3)].
Passo 1
O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade f\) da variável contínua \(X\), definida por partes:
\[f(x)= \begin{cases}0,25\,x & \text{se } 0 \leq x<2,\\[4pt] 1-0,25\,x & \text{se } 2 \leq x \leq 4,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
O que nos pedem é calcular a probabilidade
P(1<X<3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A densidade é positiva apenas em [0,4]\] e é dada por expressões diferentes em \([0,2) e em [2,4].
O intervalo pedido (1,3) cruza o ponto x=2, onde a definição da densidade muda. Portanto será necessário quebrar a integral em duas partes: de 1 até 2 e de 2 até 3.]
Passo 2
Lembrete rápido da teoria (sem jargões): para uma variável aleatória contínua com densidade f, a probabilidade de X cair num intervalo (a,b) é a integral da densidade nesse intervalo:
P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui vamos aplicar isso com a=1 e b=3. Como f é definida por partes e muda em x=2, escrevemos:
Explico: a primeira integral usa a fórmula de f válida para 0\le x<2; a segunda usa a fórmula válida para 2\le x\le4.
Passo 3
Calcular a primeira integral. Primeiro encontro uma primitiva (antiderivada) de 0,25\,x. Como a primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, multiplicando por 0,25 obtemos:
Somar as duas contribuições para obter a probabilidade total no intervalo (1,3):
P(1<X<3)=0,375 + 0,375 = 0,75.
Em fração isso é \tfrac{3}{4}.
Passo 6
(Comentário motivador rápido) Beleza — deu um resultado simpático: as duas metades deram o mesmo valor 0,375. Isso aconteceu porque a densidade é construída de modo simétrico em torno de x=2 (uma rampa subindo até 2 e outra rampa decaindo a partir de 2), então o intervalo (1,2) e o intervalo (2,3) acabaram contribuindo igualmente. Você conseguiu: integrar e juntar as peças é a técnica que serve para qualquer pdf por partes.