Em uma determinada localidade, a distribuição de renda é uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} x+\frac{1}{10} & \text { se } 0 \leq x \leq 2 \\\ \frac{-3}{40} x+\frac{9}{20} & \text { se } 2<x \leq 6 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}
Selecionada uma pessoa ao acaso da localidade, qual a probabilidade de sua renda ser:
de 1 a 2 .
Passo 1
O enunciado dá a função densidade de probabilidade f(x)\) por partes:
\[f(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10} & \text{se } 0 \le x \le 2,\\[6pt] \dfrac{-3}{40}x+\dfrac{9}{20} & \text{se } 2<x \le 6,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é: qual a probabilidade da renda de uma pessoa sorteada estar entre 1 e 2 (isto é, de 1\] a \(2)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A variável aleatória X tem densidade f(x) definida acima.
O intervalo pedido [1,2] está inteiramente contido na primeira parte da definição (pois 0\le1\le2).
Para uma variável contínua, a probabilidade em um intervalo [a,b] é obtida pela integral da densidade entre a e b.]
Passo 2
Conceito importante (aula rapidinha): se X tem densidade f(x), então a probabilidade de X estar entre a e b é
P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx.
Observação prática para prova: em variáveis contínuas, incluir ou não os extremos (\le ou <) não altera o valor da probabilidade, porque pontos isolados têm probabilidade zero.
Passo 3
Identificar qual expressão usar no intervalo pedido. Como 1 e 2 estão em [0,2], usamos a primeira peça:
Interpretação final e dica para prova: a probabilidade pedida é \dfrac{1}{4}, ou seja 25\%. Dica prática: sempre identifique qual ramo da função usar antes de integrar — é o erro mais comum quando a densidade é por partes. Força aí, tá indo bem!