Em uma determinada localidade, a distribuição de renda é uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} x+\frac{1}{10} & \text { se } 0 \leq x \leq 2 \\\ \frac{-3}{40} x+\frac{9}{20} & \text { se } 2<x \leq 6 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}á
Selecionada uma pessoa ao acaso da localidade, qual a probabilidade de sua renda ser:
de 1 a 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade f(x)\) por partes: \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10} & \text{se } 0 \le x \le 2,\\[6pt] \dfrac{-3}{40}x+\dfrac{9}{20} & \text{se } 2<x \le 6,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
A pergunta é: qual a probabilidade da renda de uma pessoa sorteada estar entre 1 e 2 (isto é, de 1\] a \(2)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável aleatória X tem densidade f(x) definida acima.
  • O intervalo pedido [1,2] está inteiramente contido na primeira parte da definição (pois 0\le1\le2).
  • Para uma variável contínua, a probabilidade em um intervalo [a,b] é obtida pela integral da densidade entre a e b.]

Passo 2

Conceito importante (aula rapidinha): se X tem densidade f(x), então a probabilidade de X estar entre a e b é
P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx.
Observação prática para prova: em variáveis contínuas, incluir ou não os extremos ( \le ou <) não altera o valor da probabilidade, porque pontos isolados têm probabilidade zero.

Passo 3

Identificar qual expressão usar no intervalo pedido. Como 1 e 2 estão em [0,2], usamos a primeira peça:
f(x)=\frac{1}{10}x+\frac{1}{10}\quad\text{para }0\le x\le2.
Montamos a integral:
P(1\le X\le 2)=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{10}x+\frac{1}{10}\right)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
Antiderivada de \dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10} é
\frac{1}{20}x^2+\frac{1}{10}x,
pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{20}x^2\right)=\dfrac{1}{10}x e \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{10}x\right)=\dfrac{1}{10}.
Agora avaliar entre 1 e 2:
\left(\frac{1}{20}x^2+\frac{1}{10}x\right)\Bigg|_{1}^{2} = \left(\frac{1}{20}\cdot 2^2+\frac{1}{10}\cdot 2\right)-\left(\frac{1}{20}\cdot 1^2+\frac{1}{10}\cdot 1\right).
Calculemos cada termo:
\frac{1}{20}\cdot 2^2+\frac{1}{10}\cdot 2=\frac{4}{20}+\frac{2}{10}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5},
\frac{1}{20}\cdot 1^2+\frac{1}{10}\cdot 1=\frac{1}{20}+\frac{1}{10}=\frac{1}{20}+\frac{2}{20}=\frac{3}{20}.
Subtraindo:
\frac{2}{5}-\frac{3}{20}=\frac{8-3}{20}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}.
Em decimal (vírgula, como costuma aparecer em provas): 0,25.

Passo 5

Cheque rápido de sanidade (boa ideia em prova): verificar que f é de fato uma densidade (integra a 1). Somando as áreas:
\int_0^2\left(\frac{1}{10}x+\frac{1}{10}\right)dx=\frac{2}{5}=0,4,
\int_2^6\left(\frac{-3}{40}x+\frac{9}{20}\right)dx=\frac{3}{5}=0,6,
soma 0,4+0,6=1. Tudo coerente.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: a probabilidade pedida é \dfrac{1}{4}, ou seja 25\%. Dica prática: sempre identifique qual ramo da função usar antes de integrar — é o erro mais comum quando a densidade é por partes. Força aí, tá indo bem!

Resposta

P(1\le X\le 2)=\frac{1}{4}=0,25

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