Em uma determinada localidade, a distribuição de renda é uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} x+\frac{1}{10} & \text { se } 0 \leq x \leq 2 \\\ \frac{-3}{40} x+\frac{9}{20} & \text { se } 2<x \leq 6 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}á
Selecionada uma pessoa ao acaso da localidade, qual a probabilidade de sua renda ser:
de ser entre 1,5 e 3 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • A variável aleatória X\) tem densidade de probabilidade \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10} & \text{se } 0 \le x \le 2,\\[6pt] -\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20} & \text{se } 2 < x \le 6,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
  • O que o enunciado pergunta: qual a probabilidade de a renda estar entre 1{,}5\] e \(3; ou seja, deseja-se
\Pr\bigl(1{,}5 \le X \le 3\bigr).]

Passo 2

Conceito chave e como transformamos o pedido em cálculo: para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de X cair em um intervalo [a,b] é dada pela integral da densidade nesse intervalo:
\Pr(a \le X \le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicando devagar: a densidade f(x) mede “quanto de probabilidade por unidade” há perto de x. Somando (integrando) essa densidade de a até b obtemos a probabilidade total nesse intervalo.
No nosso caso, como 1{,}5 e 3 caem em pedaços diferentes da definição por partes de f (o pedaço de 0 a 2 e o pedaço de 2 a 6), precisamos dividir a integral em duas:
\Pr\bigl(1{,}5 \le X \le 3\bigr)=\int_{1{,}5}^{2}\!\!\left(\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10}\right)\,dx +\int_{2}^{3}\!\!\left(-\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20}\right)\,dx.
Aqui estamos só escrevendo a expressão que vamos calcular.

Passo 3

Preparar as antiderivadas (próxima etapa: integrar passo a passo). Lembrete rápido sobre integrais elementares que vamos usar:
  • \displaystyle \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+C.
  • \displaystyle \int c\,dx = c x + C para constante c.
  • Constantes multiplicativas saem da integral: \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx.
Aplicando isso, as antiderivadas serão:
  • Para \dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10} a antiderivada é
\int\!\left(\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10}\right)\,dx =\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{1}{10}x =\dfrac{1}{20}x^{2}+\dfrac{1}{10}x.
  • Para -\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20} a antiderivada é
\int\!\left(-\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20}\right)\,dx =-\dfrac{3}{40}\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{9}{20}x =-\dfrac{3}{80}x^{2}+\dfrac{9}{20}x.

Passo 4

Calcular a primeira integral \displaystyle \int_{1{,}5}^{2}\!\left(\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10}\right)\,dx usando a antiderivada encontrada.
Avaliar \dfrac{1}{20}x^{2}+\dfrac{1}{10}x em x=2 e em x=1{,}5:
  • Em x=2:
\dfrac{1}{20}\cdot 2^{2}+\dfrac{1}{10}\cdot 2 =\dfrac{1}{20}\cdot 4 + \dfrac{2}{10} =\dfrac{4}{20}+\dfrac{2}{10} =\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5} =\dfrac{2}{5}.
(Em decimal isso é \,0,4, mas vamos manter frações para exatidão.)
  • Em x=1{,}5 (note que 1{,}5^{2}=2{,}25):
\dfrac{1}{20}\cdot 2{,}25+\dfrac{1}{10}\cdot 1{,}5 =\dfrac{2{,}25}{20}+\dfrac{1{,}5}{10} =\dfrac{9}{80}+\dfrac{15}{100} =\dfrac{9}{80}+\dfrac{12}{80} =\dfrac{21}{80}.
(Em decimal isso é \,0,2625.)
Agora a diferença (valor da integral):
\int_{1{,}5}^{2}\!\left(\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10}\right)\,dx =\dfrac{2}{5}-\dfrac{21}{80}.
Colocando no mesmo denominador 80:
\dfrac{2}{5}=\dfrac{32}{80}, \qquad \dfrac{32}{80}-\dfrac{21}{80}=\dfrac{11}{80}.
Portanto a primeira integral vale \dfrac{11}{80} (que em decimal é 0,1375).

Passo 5

Calcular a segunda integral \displaystyle \int_{2}^{3}\!\left(-\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20}\right)\,dx usando a antiderivada encontrada.
Avaliar -\dfrac{3}{80}x^{2}+\dfrac{9}{20}x em x=3 e em x=2:
  • Em x=3:
-\dfrac{3}{80}\cdot 3^{2}+\dfrac{9}{20}\cdot 3 =-\dfrac{3}{80}\cdot 9 + \dfrac{27}{20} =-\dfrac{27}{80}+\dfrac{27}{20}.
Colocando em denominador 80:
-\dfrac{27}{80}+\dfrac{108}{80}=\dfrac{81}{80}.
(Em decimal isso é \,1,0125.)
  • Em x=2:
-\dfrac{3}{80}\cdot 2^{2}+\dfrac{9}{20}\cdot 2 =-\dfrac{3}{80}\cdot 4 + \dfrac{18}{20} =-\dfrac{12}{80}+\dfrac{18}{20}.
Colocando em denominador 80:
-\dfrac{12}{80}+\dfrac{72}{80}=\dfrac{60}{80}=\dfrac{3}{4}.
(Em decimal isso é \,0,75.)
Agora a diferença (valor da integral):
\int_{2}^{3}\!\left(-\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20}\right)\,dx =\dfrac{81}{80}-\dfrac{60}{80}=\dfrac{21}{80}.
(Em decimal isso é \,0,2625.)

Passo 6

Somar os dois resultados para obter a probabilidade pedida.
  • Primeira integral: \dfrac{11}{80}.
  • Segunda integral: \dfrac{21}{80}.
Somando:
\dfrac{11}{80}+\dfrac{21}{80}=\dfrac{32}{80}.
Podemos simplificar \dfrac{32}{80} dividindo numerador e denominador por 16:
\dfrac{32}{80}=\dfrac{2}{5}.
Em decimal isso é \,0,4.
Pequeno comentário de incentivo: excelente — dividimos o intervalo corretamente, integramos peça por peça e chegamos num resultado simples. Isso é uma rotina muito comum em provas: identificar intervalos onde a densidade muda e somar as integrais parciais.

Resposta

\Pr(1{,}5 \le X \le 3)=\dfrac{2}{5}=0,4

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