Em uma determinada localidade, a distribuição de renda é uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} x+\frac{1}{10} & \text { se } 0 \leq x \leq 2 \\\ \frac{-3}{40} x+\frac{9}{20} & \text { se } 2<x \leq 6 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}
Selecionada uma pessoa ao acaso da localidade, qual a probabilidade de sua renda ser:
de ser entre 1,5 e 3 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
A variável aleatória X\) tem densidade de probabilidade
\[f(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10} & \text{se } 0 \le x \le 2,\\[6pt] -\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20} & \text{se } 2 < x \le 6,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
O que o enunciado pergunta: qual a probabilidade de a renda estar entre 1{,}5\] e \(3; ou seja, deseja-se
\Pr\bigl(1{,}5 \le X \le 3\bigr).]
Passo 2
Conceito chave e como transformamos o pedido em cálculo: para uma variável contínua com densidade f(x), a probabilidade de X cair em um intervalo [a,b] é dada pela integral da densidade nesse intervalo:
\Pr(a \le X \le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicando devagar: a densidade f(x) mede “quanto de probabilidade por unidade” há perto de x. Somando (integrando) essa densidade de a até b obtemos a probabilidade total nesse intervalo.
No nosso caso, como 1{,}5 e 3 caem em pedaços diferentes da definição por partes de f (o pedaço de 0 a 2 e o pedaço de 2 a 6), precisamos dividir a integral em duas:
\Pr\bigl(1{,}5 \le X \le 3\bigr)=\int_{1{,}5}^{2}\!\!\left(\dfrac{1}{10}x+\dfrac{1}{10}\right)\,dx +\int_{2}^{3}\!\!\left(-\dfrac{3}{40}x+\dfrac{9}{20}\right)\,dx.
Aqui estamos só escrevendo a expressão que vamos calcular.
Passo 3
Preparar as antiderivadas (próxima etapa: integrar passo a passo). Lembrete rápido sobre integrais elementares que vamos usar:
\displaystyle \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+C.
\displaystyle \int c\,dx = c x + C para constante c.
Somar os dois resultados para obter a probabilidade pedida.
Primeira integral: \dfrac{11}{80}.
Segunda integral: \dfrac{21}{80}.
Somando:
\dfrac{11}{80}+\dfrac{21}{80}=\dfrac{32}{80}.
Podemos simplificar \dfrac{32}{80} dividindo numerador e denominador por 16:
\dfrac{32}{80}=\dfrac{2}{5}.
Em decimal isso é \,0,4.
Pequeno comentário de incentivo: excelente — dividimos o intervalo corretamente, integramos peça por peça e chegamos num resultado simples. Isso é uma rotina muito comum em provas: identificar intervalos onde a densidade muda e somar as integrais parciais.