(*) A densidade conjunta de X e Y é dada por:
f_{X, Y}(x, y)=\frac{1}{\pi} I_{A}(x)
em que A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}. Calcule as marginais de X e Y.

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuído no disco unitário
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1\}
com densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{\pi}\,I_A(x,y).
Para obter as densidades marginais usamos a definição
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y)\,dx.

Passo 2

Para f_X(x) integramos em y. Como a densidade é não nula apenas quando (x,y)\in A, isto é, -\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}, temos
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pi}I_A(x,y)\,dy = \frac{1}{\pi}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi},
válido para |x|\le 1, e zero caso contrário.

Passo 3

O cálculo de f_Y(y) é análogo, trocando x por y. Assim, para |y|\le1
f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{1}{\pi}\,dx = \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi},
e vale zero fora desse intervalo.

Resposta

f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}, & |x|\le1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}, & |y|\le1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á]

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