Considere a seguinte função de duas variáveis,
f(x, y)=2 x^3+2 x^2 y^3-3 y^4
Calcule as seguintes derivadas: fx e fy;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis:
f(x, y) = 2x^3 + 2x^2y^3 - 3y^4
O que a questão pede é para calcular as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e a $ y $. Ou seja, queremos encontrar $ f_{x} $ (derivada parcial em relação a $ x $) e $ f_{y} $ (derivada parcial em relação a $ y $). Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a $ x $, que é $ f_{x} $. Quando derivamos em relação a $ x $, consideramos $ y $ como uma constante.
A função é:
x
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo: $ 2x^{3} $
    A derivada de $ 2x^{3} $ em relação a $ x $ é:
    fx
  2. Segundo termo: $ 2x{2}y{3} $
    Aqui, $ y^{3} $ é tratado como constante. Então, a derivada de $ 2x{2}y{3} $ em relação a $ x $ é:
    x
  3. Terceiro termo: $ -3y^{4} $
    Como esse termo não tem $ x $, sua derivada em relação a $ x $ é zero:
    y
Somando tudo:
f(x, y) = 2x^3 + 2x^2y^3 - 3y^4

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, que é $ f_{y} $. Dessa vez, ao derivar em relação a $ y $, tratamos $ x $ como uma constante.
Voltando à função:
y
Derivando termo a termo:
  1. Primeiro termo: $ 2x^{3} $
    Como esse termo não tem $ y $, sua derivada em relação a $ y $ é zero:
    fy
  2. Segundo termo: $ 2x{2}y{3} $
    Aqui, $ 2x^{2} $ é constante. A derivada de $ 2x{2}y{3} $ em relação a $ y $ é:
    y
  3. Terceiro termo: $ -3y^{4} $
    A derivada de $ -3y^{4} $ em relação a $ y $ é:
    x
Somando tudo:
f(x, y) = 2x^3 + 2x^2y^3 - 3y^4

Resposta

As derivadas parciais são:
fx = 6x^2 + 4x y^3
e
fy = 6x^2y^2 - 12y^3

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