Considere a seguinte função de duas variáveis,
Calcule as seguintes derivadas:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis:
O que a questão pede é para calcular as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e a $ y $. Ou seja, queremos encontrar $ f_{x} $ (derivada parcial em relação a $ x $) e $ f_{y} $ (derivada parcial em relação a $ y $). Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a $ x $, que é $ f_{x} $. Quando derivamos em relação a $ x $, consideramos $ y $ como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo: $ 2x^{3} $A derivada de $ 2x^{3} $ em relação a $ x $ é:
-
Segundo termo: $ 2x{2}y{3} $Aqui, $ y^{3} $ é tratado como constante. Então, a derivada de $ 2x{2}y{3} $ em relação a $ x $ é:
-
Terceiro termo: $ -3y^{4} $Como esse termo não tem $ x $, sua derivada em relação a $ x $ é zero:
Somando tudo:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, que é $ f_{y} $. Dessa vez, ao derivar em relação a $ y $, tratamos $ x $ como uma constante.
Voltando à função:
Derivando termo a termo:
-
Primeiro termo: $ 2x^{3} $Como esse termo não tem $ y $, sua derivada em relação a $ y $ é zero:
-
Segundo termo: $ 2x{2}y{3} $Aqui, $ 2x^{2} $ é constante. A derivada de $ 2x{2}y{3} $ em relação a $ y $ é:
-
Terceiro termo: $ -3y^{4} $A derivada de $ -3y^{4} $ em relação a $ y $ é:
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais são:
e