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Determine:
uma equação da reta tangente à curva y=(1+2 x)^10 no ponto (0,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = (1 + 2x)^{10} $ no ponto $ (0, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e de como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “toca” a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos saber dois pontos: o próprio ponto de tangência e a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 3

A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função no ponto de interesse. Então, vamos começar calculando a derivada de $ y = (1 + 2x)^{10} $.

Passo 4

Para derivar $ y = (1 + 2x)^{10} $, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica para derivar funções compostas. Aqui, a função interna é $ u = 1 + 2x $ e a função externa é $ y = u^{10} $.
A derivada de $ y $ em relação a $ u $ é $ \frac{dy}{du} = 10u^{9} $ e a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ \frac{du}{dx} = 2 $. Então, aplicando a regra da cadeia:
y = (1 + 2x)^10

Passo 5

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 0 $. Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
x = 0
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ (0, 1) $ é 20.

Passo 6

Com a inclinação e o ponto, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Onde $ m $ é a inclinação e $ (x_1, y_1) $ é o ponto de tangência. Substituindo os valores:
m

Resposta

A equação da reta tangente à curva $ y = (1 + 2x)^{10} $ no ponto $ (0, 1) $ é:
y = (1 + 2x)^10

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