JUSTIFIQUE TODAS AS TUAS RESPOSTAS
Determine:
todos os pontos sobre a curva
onde a inclinação da reta tangente é -1 ;
Determine:
todos os pontos sobre a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar todos os pontos na curva definida por
onde a reta tangente tem inclinação igual a -1. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas implícitas, para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como a equação da curva envolve
e
de forma misturada, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
A equação é:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente:
- Para
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- Para
, também usamos a regra do produto:
- A derivada de uma constante é zero:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Vamos isolar
. Reagrupando os termos que contêm
:
Fatorando
:
Agora, isolando
:
Podemos simplificar tirando o sinal negativo do numerador:
Passo 5
Segundo o enunciado, queremos que a inclinação
seja igual a -1:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso implica que:
Vamos reorganizar os termos:
Podemos fatorar alguns termos:
Fatorando
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 6
Vamos considerar cada caso separadamente e encontrar os pontos que satisfazem a equação original
.
Caso 1:
Substituindo
na equação original:
Vamos resolver essa equação para
. Podemos fazer uma substituição
:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Como
e
não pode ser negativo:
Então, temos dois pontos:
- Se
, então . - Se
, então .
Caso 2:
Substituindo
na equação original:
Isso não faz sentido, ou seja, não há soluções neste caso.
Resposta
Os pontos sobre a curva
onde a inclinação da reta tangente é -1 são
e
.