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Determine:
todos os pontos sobre a curva x^2 y^2+x y=2 onde a inclinação da reta tangente é -1 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar todos os pontos na curva definida por x^2 y^2 + x y = 2 onde a reta tangente tem inclinação igual a -1. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas implícitas, para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx. Como a equação da curva envolve x e y de forma misturada, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a x, tratando y como uma função de x.
A equação é:
x^2 y^2 + x y = 2
Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(x^2 y^2) + ddx(x y) = ddx(2)

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para ddx(x^2 y^2), usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
ddx(x^2 y^2) = 2x y^2 + x^2 cdot 2y dydx = 2x y^2 + 2x^2 y dydx
  1. Para ddx(x y), também usamos a regra do produto:
ddx(x y) = y + x dydx
  1. A derivada de uma constante é zero:
ddx(2) = 0
Então, juntando tudo:
2x y^2 + 2x^2 y dydx + y + x dydx = 0

Passo 4

Vamos isolar dydx. Reagrupando os termos que contêm dydx:
2x^2 y dydx + x dydx = - (2x y^2 + y)
Fatorando dydx:
dydx (2x^2 y + x) = - (2x y^2 + y)
Agora, isolando dydx:
dydx = - (2x y^2 + y) 2x^2 y + x
Podemos simplificar tirando o sinal negativo do numerador:
dydx = 2x y^2 + y- (2x^2 y + x) = - 2x y^2 + y2x^2 y + x

Passo 5

Segundo o enunciado, queremos que a inclinação dydx seja igual a -1:
- 2x y^2 + y2x^2 y + x = -1
Multiplicando ambos os lados por -1:
2x y^2 + y2x^2 y + x = 1
Isso implica que:
2x y^2 + y = 2x^2 y + x
Vamos reorganizar os termos:
2x y^2 + y - 2x^2 y - x = 0
2x y^2 - 2x^2 y + y - x = 0
Podemos fatorar alguns termos:
2x y (y - x) + (y - x) = 0
Fatorando (y - x):
(y - x)(2x y + 1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. y - x = 0 Rightarrow y = x
  2. 2x y + 1 = 0 Rightarrow y = -12x

Passo 6

Vamos considerar cada caso separadamente e encontrar os pontos que satisfazem a equação original x^2 y^2 + x y = 2.
Caso 1: y = x
Substituindo y = x na equação original:
x^2 x^2 + x cdot x = 2
x^4 + x^2 = 2
x^4 + x^2 - 2 = 0
Vamos resolver essa equação para x. Podemos fazer uma substituição z = x^2:
z^2 + z - 2 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
z = -1 pm raiz1 + 8 2 = -1 pm 3 2
z = 1 ou z = -2
Como z = x^2 e x^2 não pode ser negativo:
x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Então, temos dois pontos:
  • Se x = 1, então y = 1.
  • Se x = -1, então y = -1.
Caso 2: y = -12x
Substituindo y = -12x na equação original:
x^2 (-12x)^2 + x (-12x) = 2
x^2 cdot 14x^2 - 12 = 2
14 - 12 = 2
-14 = 2
Isso não faz sentido, ou seja, não há soluções neste caso.

Resposta

Os pontos sobre a curva x^2 y^2 + x y = 2 onde a inclinação da reta tangente é -1 são (1, 1) e (-1, -1).

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