Considere a seguinte função de duas variáveis,
f(x, y)=2 x^3+2 x^2 y^3-3 y^4
Encontre a diferencial de f;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 2x^3 + 2x^2 y^3 - 3y^4 $, e precisamos encontrar a diferencial dessa função. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois juntar tudo para achar a diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é escrita como $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
A função é:
f
Derivando termo a termo:
  • Derivada de $ 2x^3 $ em relação a $ x $ é $ 6x^2 $.
  • Derivada de $ 2x^2 y^3 $ em relação a $ x $ é $ 4x y^3 $ (porque $ y^3 $ é constante).
  • Derivada de $ -3y^4 $ em relação a $ x $ é $ 0 $ (já que não tem $ x $).
Então:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos em relação a $ y $.
Derivando a função:
f
Derivando termo a termo:
  • Derivada de $ 2x^3 $ em relação a $ y $ é $ 0 $ (não tem $ y $).
  • Derivada de $ 2x^2 y^3 $ em relação a $ y $ é $ 6x^2 y^2 $.
  • Derivada de $ -3y^4 $ em relação a $ y $ é $ -12y^3 $.
Então:
y

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, agora podemos montar a diferencial de $ f $. A diferencial $ df $ é dada por:
f
Substituindo as derivadas que encontramos:
df

Resposta

A diferencial de $ f $ é:
f

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