Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
Passo 1
Beleza! A gente tem que determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela equação:
no ponto $ (1, 3, 1) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o vetor normal à superfície nesse ponto. Com esse vetor, conseguimos montar a equação do plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que ela seja igual a zero, assim facilitamos o cálculo das derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Essas derivadas nos darão os componentes do vetor normal.
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (1, 3, 1) $:
- Calculando $ F_x(1, 3, 1) $:
- Calculando $ F_y(1, 3, 1) $:
- Calculando $ F_z(1, 3, 1) $:
Então, o vetor normal à superfície no ponto $ (1, 3, 1) $ é $ \vec{n} = (10, -2, 4) $.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação do plano tangente usando o vetor normal $ \vec{n} = (10, -2, 4) $ e o ponto $ (1, 3, 1) $. A fórmula do plano é:
Simplificando:
Para a reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto dado:
Resposta
A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é: