Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
2 x^3 e^3 z-y=3-(2 x-z)^2, no ponto (1,3,1)

Passo 1

Beleza! A gente tem que determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela equação:
2 x^3 e^3 z - y = 3 - (2 x - z)^2
no ponto $ (1, 3, 1) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o vetor normal à superfície nesse ponto. Com esse vetor, conseguimos montar a equação do plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que ela seja igual a zero, assim facilitamos o cálculo das derivadas parciais:
F(x, y, z) = 2 x^3 e^3 z - y + (2 x - z)^2 - 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Essas derivadas nos darão os componentes do vetor normal.
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
F
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
x
  • Derivada parcial em relação a $ z $:
y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (1, 3, 1) $:
  • Calculando $ F_x(1, 3, 1) $:
(1, 3, 1)
  • Calculando $ F_y(1, 3, 1) $:
Fx(1, 3, 1)
  • Calculando $ F_z(1, 3, 1) $:
Fx = 6(1)^2 e^3(1) - 3 + 4(2(1) - 1) = 6 e^0 + 4(1) = 6(1) + 4 = 10
Então, o vetor normal à superfície no ponto $ (1, 3, 1) $ é $ \vec{n} = (10, -2, 4) $.

Passo 5

Agora, vamos montar a equação do plano tangente usando o vetor normal $ \vec{n} = (10, -2, 4) $ e o ponto $ (1, 3, 1) $. A fórmula do plano é:
n = (10, -2, 4)
Simplificando:
(1, 3, 1)
Para a reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto dado:
10(x - 1) - 2(y - 3) + 4(z - 1) = 0

Resposta

A equação do plano tangente é:
10x - 2y + 4z - 8 = 0
E a equação paramétrica da reta normal é:
x = 1 + 10t y = 3 - 2t z = 1 + 4t

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