Seja
dada por:
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida de forma diferente dependendo dos valores de $ x $ e $ y $. Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas são calculadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como $ f $ muda quando $ x $ muda, mantendo $ y $ fixo em 0.
Passo 3
A definição de derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $ é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando $ h $ se aproxima de 0 da diferença entre $ f(h,0) $ e $ f(0,0) $, tudo dividido por $ h $.
Passo 4
Vamos calcular cada parte desse limite. Primeiro, sabemos que $ f(x,0) = 2 + x^{2} $. Portanto, quando $ y = 0 $:
Também precisamos de $ f(0,0) $. De acordo com a definição, tanto se $ y = 0 $ quanto se $ x = 0 $, $ f(0,0) = 2 $.
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na expressão do limite:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Então, o limite agora é:
Passo 7
Sabemos que conforme $ h $ se aproxima de 0, $ h $ também se aproxima de 0. Logo:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $ é $ 0 $.