Considere a seguinte função: (E F-2013.2) g(x)=\frac{2 x}{x^{2}-4}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (o enunciado nos dá a função e faz várias perguntas).
  • Função dada: f(x)=\dfrac{2x}{x^{2}-4}. (O enunciado escreveu g, aqui chamarei de f como nas perguntas.)
  • Perguntas a resolver, em ordem:
    1. Determinar o domínio de f.
    2. (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e verificar se f é par, ímpar ou nenhuma das opções.
    3. Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a ausência).
    4. Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a ausência).
    5. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
    6. Determinar pontos de máximo ou mínimo (se houver) e dizer se são absolutos ou relativos.
    7. Determinar intervalos de concavidade para cima/para baixo e pontos de inflexão (se houver).
    8. A partir de tudo, esboçar o gráfico e indicar as coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Informações relevantes já visíveis: o denominador é x^{2}-4, que anula em x=\pm 2. Esses pontos provavelmente são importantes (domínio, assíntotas verticais).

Passo 2

Domínio de f. Explicação passo a passo e por que.
  • Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} só é definida onde o denominador q(x) é diferente de zero.
  • Aqui q(x)=x^{2}-4. Resolver x^{2}-4=0
x^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
  • Logo, f(x) não está definida em x=2 e x=-2.
  • Portanto o domínio é todos os reais exceto \pm 2:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Passo 3

Raízes de f e paridade (explicação didática).
  • Raízes: resolver f(x)=0 significa achar x tal que o numerador seja zero (e o denominador não).
  • Numerador é 2x. Logo 2x=0\Rightarrow x=0. Como 0 não é \pm2, x=0 pertence ao domínio.
  • Assim a única raiz é x=0 e a coordenada do ponto é (0,0).
  • Paridade: calcular f(-x) e comparar com f(x).
f(-x)=\frac{2(-x)}{(-x)^{2}-4}=\frac{-2x}{x^{2}-4}=-\frac{2x}{x^{2}-4}=-f(x).
  • Como f(-x)=-f(x) para todo x do domínio (o domínio é simétrico em relação a zero porque exclui \pm2), f é uma função ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais: identificar e justificar com limites laterais.
  • Assíntotas verticais podem ocorrer onde o denominador anula (pontos fora do domínio) se a função tende a \pm\infty ao aproximar-se desses pontos.
  • Temos candidatos x=2 e x=-2.
  • Escrevemos f(x)=\dfrac{2x}{(x-2)(x+2)} para analisar os sinais.
Limites em x\to 2:
\lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{2x}{(x-2)(x+2)}.
Quando x\to2^{+}: 2x\to 4^{+} (positivo), x-2\to 0^{+}, x+2\to 4^{+} (positivo). Denominador (x-2)(x+2)\to 0^{+}. Logo quociente \to +\infty.
\lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{2x}{(x-2)(x+2)}.
Quando x\to2^{-}: 2x\to 4^{-} positivo, x-2\to 0^{-}, x+2\to 4^{-} positivo. Denominador \to 0^{-}. Logo quociente \to -\infty.
Portanto x=2 é assíntota vertical (limites laterais infinitos com sinais opostos).
Limites em x\to -2:
\lim_{x\to -2^{+}} f(x):\quad x\to -2^{+}\Rightarrow 2x\to -4^{+},\; x+2\to 0^{+},\; x-2\to -4^{+}.
Denominador \to (-4^{+})\cdot 0^{+} = 0^{-}. Quociente -4^{+}/0^{-}\to +\infty.
\lim_{x\to -2^{-}} f(x):\quad x\to -2^{-}\Rightarrow 2x\to -4^{-},\; x+2\to 0^{-},\; x-2\to -4^{-}.
Denominador \to (-4^{-})\cdot 0^{-} = 0^{+}. Quociente -4^{-}/0^{+}\to -\infty.
Portanto x=-2 também é assíntota vertical (limites laterais infinitos com sinais opostos).
Conclusão: há assíntotas verticais em x=2 e x=-2.

Passo 5

Assíntotas horizontais: limites quando x\to\pm\infty.
  • Regra prática: se grau do numerador < grau do denominador, a assíntota horizontal é y=0.
  • Aqui grau do numerador é 1 e do denominador é 2, então esperar y=0.
    Cálculo explícito:
\lim_{x\to\infty} \frac{2x}{x^{2}-4}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x-\dfrac{4}{x}}=0,
onde dividimos numerador e denominador por x.
Também
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x}{x^{2}-4}=0.
  • Logo existe uma assíntota horizontal comum y=0.
Observação: a reta y=0 é atravessada pela curva no ponto (0,0) (é permitido que a curva cruze sua assíntota horizontal).

Passo 6

Derivada de f (explicação da regra do quociente e simplificação).
  • Para estudar crescimento/decrescimento calculamos f'(x).
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
  • Aqui u(x)=2x e v(x)=x^{2}-4. Então u'(x)=2 e v'(x)=2x.
    Aplicando:
f'(x)=\frac{2(x^{2}-4)-2x\cdot 2x}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{2x^{2}-8-4x^{2}}{(x^{2}-4)^{2}} =\frac{-2x^{2}-8}{(x^{2}-4)^{2}}.
Fatorando:
f'(x)=-2\frac{x^{2}+4}{(x^{2}-4)^{2}}.
  • Note que x^{2}+4>0 para todo x e (x^{2}-4)^{2}>0 para todo x do domínio (é quadrado). Assim o numerador é estritamente negativo e o denominador estritamente positivo em todo o domínio.
  • Portanto f'(x)<0 para todo x\in\text{Dom}(f).

Passo 7

Intervalos de crescimento/decrescimento e extremos (consequência do sinal da derivada).
  • Como f'(x)<0 em todo o domínio, f é estritamente decrescente em cada componente do domínio.
  • Componentes do domínio são três intervalos: (-\infty,-2), (-2,2) e (2,\infty).
  • Conclusão:
    • f é decrescente em (-\infty,-2), em (-2,2) e em (2,\infty).
    • Não existem pontos críticos onde f'(x)=0 (porque f'(x) nunca é zero) e os únicos pontos onde a derivada é indefinida são x=\pm2 (fora do domínio). Portanto não há máximos nem mínimos relativos nem absolutos pertencentes ao domínio.
  • Podemos comentar sobre limites para ver comportamentos extremos:
    • Em (2,\infty): f decresce de +\infty (quando x\to2^{+}) para 0^{+} (quando x\to\infty), logo não há máximo finito e o ínfimo é 0 não atingido.
    • Em (-\infty,-2): f decresce de 0^{-} (quando x\to -\infty) para -\infty (quando x\to -2^{-}), sem extremos.
    • Em (-2,2): f decresce de +\infty (quando x\to -2^{+}) até -\infty (quando x\to 2^{-}), cruzando 0 em x=0. Novamente sem extremos.
Resumo: não existem pontos de máximo ou mínimo (nem relativos nem absolutos) no domínio.

Passo 8

Segunda derivada: cálculo detalhado e interpretação (regra da cadeia/produto).
  • Partimos de
f'(x)=-2(x^{2}+4)(x^{2}-4)^{-2}.
  • Para derivar use produto e cadeia. Seja A(x)=-2(x^{2}+4) e B(x)=(x^{2}-4)^{-2}. Então
A'(x)=-4x,\qquad B'(x)=-2(x^{2}-4)^{-3}\cdot 2x=-4x(x^{2}-4)^{-3}.
  • Assim
f''(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x) =(-4x)(x^{2}-4)^{-2}+(-2(x^{2}+4))\bigl(-4x(x^{2}-4)^{-3}\bigr).
  • Colocando em evidência (x^{2}-4)^{-3} e simplificando:
f''(x)=(x^{2}-4)^{-3}\bigl[(-4x)(x^{2}-4)+8x(x^{2}+4)\bigr].
Calcule o colchete:
(-4x)(x^{2}-4)+8x(x^{2}+4)=4x\bigl[-(x^{2}-4)+2(x^{2}+4)\bigr]=4x(x^{2}+12).
Portanto
f''(x)=\frac{4x(x^{2}+12)}{(x^{2}-4)^{3}}.
  • Observação: x^{2}+12>0 sempre, então o sinal de f''(x) é dado por x vezes o sinal de (x^{2}-4)^{3}. Como (x^{2}-4)^{3} tem o mesmo sinal de x^{2}-4, podemos simplificar a determinação do sinal de f'' por analisar o produto x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).

Passo 9

Intervalos de concavidade e pontos de inflexão (analisando o sinal de f'').
  • Zeros e pontos de indefinição de f'':
    • f''(x)=0 apenas quando x=0 (numerador zero).
    • f'' é indefinida em x=\pm 2 (denominador nulo), que já não pertencem ao domínio.
  • Determinar sinal de f''(x) analisando os intervalos delimitados por -\infty,-2,0,2,\infty.
Verificação por intervalos (teste de sinal):
  • Para x<-2 (ex.: x=-3): x<0 e x^{2}-4>0 (pois 9-4=5>0), assim x(x^{2}-4)<0. Logo f''(x)<0. Conclusão: côncavo para baixo em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<0 (ex.: x=-1): x<0 e x^{2}-4<0 (pois 1-4=-3<0), produto x(x^{2}-4)>0. Logo f''(x)>0. Conclusão: côncavo para cima em (-2,0).
  • Para 0<x<2 (ex.: x=1): x>0 e x^{2}-4<0, produto x(x^{2}-4)<0. Logo f''(x)<0. Conclusão: côncavo para baixo em (0,2).
  • Para x>2 (ex.: x=3): x>0 e x^{2}-4>0, produto >0. Logo f''(x)>0. Conclusão: côncavo para cima em (2,\infty).
  • Pontos de inflexão: são pontos do domínio onde f'' muda de sinal. O único x do domínio com f''(x)=0 é x=0, e o sinal de f'' muda de positivo (em (-2,0)) para negativo (em (0,2)). Portanto x=0 é ponto de inflexão. Coordenada do ponto de inflexão: (0,0) (o mesmo ponto de intercepto).
Resumo:
  • Côncavo para baixo em (-\infty,-2) e (0,2).
  • Côncavo para cima em (-2,0) e (2,\infty).
  • Ponto de inflexão em (0,0).

Passo 10

Pontos notáveis e esboço do gráfico (orientações práticas para desenhar).
  • Assíntotas: retas x=-2, x=2 (verticais) e y=0 (horizontal).
  • Interceptos:
    • Intercepto com eixo x: (0,0).
    • Intercepto com eixo y: (0,0) (mesmo ponto).
  • Comportamento próximo às assíntotas (resumo):
    • Em x\to 2^{-}, f(x)\to -\infty. Em x\to 2^{+}, f(x)\to +\infty.
    • Em x\to -2^{-}, f(x)\to -\infty. Em x\to -2^{+}, f(x)\to +\infty.
    • Em x\to \pm\infty, f(x)\to 0 (pela direita positiva em (2,\infty) tende para 0^{+}, pela esquerda negativa em (-\infty,-2) tende para 0^{-}).
  • Sinal da função por intervalos (útil para esboço):
    • x\in(-\infty,-2): f(x)<0.
    • x\in(-2,0): f(x)>0.
    • x\in(0,2): f(x)<0.
    • x\in(2,\infty): f(x)>0.
  • Alguns pontos de referência (para guiar o traço):
    • f(-3)=\dfrac{2(-3)}{9-4}=-\dfrac{6}{5}=-1{,}2.
    • f(-1)=\dfrac{2(-1)}{1-4}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667.
    • f(1)=\dfrac{2}{1-4}=-\dfrac{2}{3}\approx -0{,}6667.
    • f(3)=\dfrac{6}{9-4}=\dfrac{6}{5}=1{,}2.
  • Comportamento monotônico: em cada componente do domínio a curva é estritamente decrescente.
  • Pontos e características para marcar no esboço:
    • Assíntotas verticais x=-2 e x=2.
    • Assíntota horizontal y=0.
    • Ponto de inflexão/intercepto (0,0).
    • Valores de referência: (-3,-1{,}2), (-1,0{,}6667), (1,-0{,}6667), (3,1{,}2).
  • Desenho qualitativo (modo de traçar): para cada ramo entre as assíntotas trace uma curva decrescente respeitando sinais e concavidade:
    • Ramo em (-\infty,-2): aproxima-se de 0^{-} quando x\to -\infty, é negativo e decrescente, vai para -\infty quando x\to -2^{-}, côncavo para baixo.
    • Ramo em (-2,0): sai de +\infty em x\to -2^{+}, é positivo e decrescente até (0,0), côncavo para cima.
    • Ramo em (0,2): sai de (0,0) continuando decrescer para valores negativos e vai a -\infty em x\to 2^{-}, côncavo para baixo.
    • Ramo em (2,\infty): sai de +\infty em x\to 2^{+}, positivo e decrescente tendendo a 0^{+} quando x\to\infty, côncavo para cima.
(Seguir essas instruções permite fazer um esboço correto à mão; as coordenadas notáveis estão acima.)

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}
Raízes: (0,0). Paridade: f é ímpar.
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
Assíntota horizontal: y=0.
Intervalos de crescimento/decrescimento: f é decrescente em (-\infty,-2), em (-2,2) e em (2,\infty).
Extremos: não existem máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio.
Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,-2) e (0,2); côncavo para cima em (-2,0) e (2,\infty).
Pontos de inflexão: (0,0).
Pontos notáveis para o esboço: assíntotas x=\pm2,\;y=0; intercepto/inflection (0,0); pontos de referência (-3,-1{,}2),(-1,2/3),(1,-2/3),(3,6/5).

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