Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (o enunciado nos dá a função e faz várias perguntas).
- Função dada:
. (O enunciado escreveu , aqui chamarei de como nas perguntas.) - Perguntas a resolver, em ordem:
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e verificar se é par, ímpar ou nenhuma das opções. - Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a ausência).
- Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a ausência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
. - Determinar pontos de máximo ou mínimo (se houver) e dizer se são absolutos ou relativos.
- Determinar intervalos de concavidade para cima/para baixo e pontos de inflexão (se houver).
- A partir de tudo, esboçar o gráfico e indicar as coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
- Determinar o domínio de
Informações relevantes já visíveis: o denominador é
, que anula em
. Esses pontos provavelmente são importantes (domínio, assíntotas verticais).
Passo 2
Domínio de
. Explicação passo a passo e por que.
- Uma função racional
só é definida onde o denominador é diferente de zero. - Aqui
. Resolver dá
- Logo,
não está definida em e . - Portanto o domínio é todos os reais exceto
:
Passo 3
Raízes de
e paridade (explicação didática).
- Raízes: resolver
significa achar tal que o numerador seja zero (e o denominador não). - Numerador é
. Logo . Como não é , pertence ao domínio. - Assim a única raiz é
e a coordenada do ponto é . - Paridade: calcular
e comparar com .
- Como
para todo do domínio (o domínio é simétrico em relação a zero porque exclui ), é uma função ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais: identificar e justificar com limites laterais.
- Assíntotas verticais podem ocorrer onde o denominador anula (pontos fora do domínio) se a função tende a
ao aproximar-se desses pontos. - Temos candidatos
e . - Escrevemos
para analisar os sinais.
Limites em
:
Quando
:
(positivo),
,
(positivo). Denominador
. Logo quociente
.
Quando
:
positivo,
,
positivo. Denominador
. Logo quociente
.
Portanto é assíntota vertical (limites laterais infinitos com sinais opostos).
Portanto
Limites em
:
Denominador
. Quociente
.
Denominador
. Quociente
.
Portanto também é assíntota vertical (limites laterais infinitos com sinais opostos).
Portanto
Conclusão: há assíntotas verticais em
e
.
Passo 5
Assíntotas horizontais: limites quando
.
- Regra prática: se grau do numerador < grau do denominador, a assíntota horizontal é
. - Aqui grau do numerador é
e do denominador é , então esperar .
Cálculo explícito:
onde dividimos numerador e denominador por
.
Também
Também
- Logo existe uma assíntota horizontal comum
.
Observação: a reta
é atravessada pela curva no ponto
(é permitido que a curva cruze sua assíntota horizontal).
Passo 6
Derivada de
(explicação da regra do quociente e simplificação).
- Para estudar crescimento/decrescimento calculamos
. - Regra do quociente: se
então
- Aqui
e . Então e .
Aplicando:
Fatorando:
- Note que
para todo e para todo do domínio (é quadrado). Assim o numerador é estritamente negativo e o denominador estritamente positivo em todo o domínio. - Portanto
para todo .
Passo 7
Intervalos de crescimento/decrescimento e extremos (consequência do sinal da derivada).
- Como
em todo o domínio, é estritamente decrescente em cada componente do domínio. - Componentes do domínio são três intervalos:
, e . - Conclusão:
-
é decrescente em , em e em . - Não existem pontos críticos onde
(porque nunca é zero) e os únicos pontos onde a derivada é indefinida são (fora do domínio). Portanto não há máximos nem mínimos relativos nem absolutos pertencentes ao domínio.
-
- Podemos comentar sobre limites para ver comportamentos extremos:
- Em
: decresce de (quando ) para (quando ), logo não há máximo finito e o ínfimo é não atingido. - Em
: decresce de (quando ) para (quando ), sem extremos. - Em
: decresce de (quando ) até (quando ), cruzando em . Novamente sem extremos.
- Em
Resumo: não existem pontos de máximo ou mínimo (nem relativos nem absolutos) no domínio.
Passo 8
Segunda derivada: cálculo detalhado e interpretação (regra da cadeia/produto).
- Partimos de
- Para derivar use produto e cadeia. Seja
e . Então
- Assim
- Colocando em evidência
e simplificando:
Calcule o colchete:
Portanto
- Observação:
sempre, então o sinal de é dado por vezes o sinal de . Como tem o mesmo sinal de , podemos simplificar a determinação do sinal de por analisar o produto .
Passo 9
Intervalos de concavidade e pontos de inflexão (analisando o sinal de
).
- Zeros e pontos de indefinição de
: -
apenas quando (numerador zero). -
é indefinida em (denominador nulo), que já não pertencem ao domínio.
-
- Determinar sinal de
analisando os intervalos delimitados por .
Verificação por intervalos (teste de sinal):
-
Para
(ex.: ): e (pois ), assim . Logo . Conclusão: côncavo para baixo em . -
Para
(ex.: ): e (pois ), produto . Logo . Conclusão: côncavo para cima em . -
Para
(ex.: ): e , produto . Logo . Conclusão: côncavo para baixo em . -
Para
(ex.: ): e , produto . Logo . Conclusão: côncavo para cima em . -
Pontos de inflexão: são pontos do domínio onde
muda de sinal. O único do domínio com é , e o sinal de muda de positivo (em ) para negativo (em ). Portanto é ponto de inflexão. Coordenada do ponto de inflexão: (o mesmo ponto de intercepto).
Resumo:
- Côncavo para baixo em
e . - Côncavo para cima em
e . - Ponto de inflexão em
.
Passo 10
Pontos notáveis e esboço do gráfico (orientações práticas para desenhar).
- Assíntotas: retas
, (verticais) e (horizontal). - Interceptos:
- Intercepto com eixo
: . - Intercepto com eixo
: (mesmo ponto).
- Intercepto com eixo
- Comportamento próximo às assíntotas (resumo):
- Em
, . Em , . - Em
, . Em , . - Em
, (pela direita positiva em tende para , pela esquerda negativa em tende para ).
- Em
- Sinal da função por intervalos (útil para esboço):
-
: . -
: . -
: . -
: .
-
- Alguns pontos de referência (para guiar o traço):
-
. -
. -
. -
.
-
- Comportamento monotônico: em cada componente do domínio a curva é estritamente decrescente.
- Pontos e características para marcar no esboço:
- Assíntotas verticais
e . - Assíntota horizontal
. - Ponto de inflexão/intercepto
. - Valores de referência:
, , , .
- Assíntotas verticais
- Desenho qualitativo (modo de traçar): para cada ramo entre as assíntotas trace uma curva decrescente respeitando sinais e concavidade:
- Ramo em
: aproxima-se de quando , é negativo e decrescente, vai para quando , côncavo para baixo. - Ramo em
: sai de em , é positivo e decrescente até , côncavo para cima. - Ramo em
: sai de continuando decrescer para valores negativos e vai a em , côncavo para baixo. - Ramo em
: sai de em , positivo e decrescente tendendo a quando , côncavo para cima.
- Ramo em
(Seguir essas instruções permite fazer um esboço correto à mão; as coordenadas notáveis estão acima.)
Resposta
Domínio:
Raízes: . Paridade:
é ímpar.
Assíntotas verticais: e
.
Assíntota horizontal: .
Intervalos de crescimento/decrescimento: é decrescente em
, em
e em
.
Extremos: não existem máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio.
Concavidade: côncavo para baixo em e
; côncavo para cima em
e
.
Pontos de inflexão: .
Pontos notáveis para o esboço: assíntotas ; intercepto/inflection
; pontos de referência
.
Raízes:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Intervalos de crescimento/decrescimento:
Extremos: não existem máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio.
Concavidade: côncavo para baixo em
Pontos de inflexão:
Pontos notáveis para o esboço: assíntotas