Considere a seguinte função: f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}+\ln (t).
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{t}}+\ln(t) e pede, sucessivamente:
  • Determinar o domínio de f.
  • (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e dizer se f é par, ímpar ou nenhuma das opções.
  • Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a ausência).
  • Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a ausência).
  • Encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determinar os pontos do domínio onde f atinge máximos ou mínimos e se são relativos/absolutos.
  • Determinar intervalos de concavidade (côncavo para cima/para baixo) e pontos de inflexão (se houver).
  • Com todas as informações, esboçar o gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis.
Informações relevantes dadas: a função está escrita em termos de \sqrt{t} e \ln(t), portanto quaisquer restrições de domínio vêm de onde essas expressões são definidas.

Passo 2

Domínio.
Explicação pedagógica curta: a raiz quadrada \sqrt{t} exige t\ge0 quando usamos raiz real; porém ela aparece no denominador como \dfrac{1}{\sqrt{t}}, então não podemos ter \sqrt{t}=0. Além disso, \ln(t) só está definido para t>0. Combinando as duas restrições concluímos que o domínio é apenas os reais estritamente positivos.
Conclusão: o domínio de f é
(0,\infty).

Passo 3

Raízes e paridade.
Primeiro: paridade (didática). Uma função é par se f(-t)=f(t) para todo t no domínio e ímpar se f(-t)=-f(t). Aqui o domínio é (0,\infty), que não é simétrico em relação a zero; portanto não faz sentido falar em par ou ímpar no domínio total — concluímos que f não é nem par nem ímpar (ou melhor: não satisfaz as definições usuais porque o domínio não é simétrico). Em linguagem prática: nenhuma das opções.
Agora as raízes f(t)=0. É a equação
\frac{1}{\sqrt{t}}+\ln(t)=0,\qquad t>0.
Para facilitar, faça a troca s=\sqrt{t} (isso é comum: s>0 e t=s^2). Então
\frac{1}{s}+\ln(s^2)=0.
Usando \ln(s^2)=2\ln s obtemos a função em s:
h(s)=\frac{1}{s}+2\ln s,\qquad s>0,
e queremos h(s)=0.
Em vez de buscar uma solução numérica complicada, vamos estudar h e mostrar que nunca zera. Calcule a derivada (para achar extremos de h):
h'(s)=-\frac{1}{s^2}+\frac{2}{s}=\frac{-1+2s}{s^2}.
Zeramos h' quando -1+2s=0, isto é, s=\tfrac{1}{2}. O sinal de h' muda de negativo (para s<\tfrac12) para positivo (para s>\tfrac12), portanto s=\tfrac12 é um mínimo global de h em (0,\infty).
Avalie h nesse ponto mínimo:
h\!\left(\tfrac12\right)=\frac{1}{1/2}+2\ln\!\left(\tfrac12\right)=2+2\ln\!\left(\tfrac12\right)=2-2\ln 2.
Como \ln 2\approx0,6931, temos 2-2\ln 2\approx0,6137>0. Assim o mínimo de h é positivo, logo h(s)>0 para todo s>0. Voltando para t, isso mostra que f(t)>0 para todo t>0. Em particular, f não possui raízes reais.
Resumo didático: mostrar que uma função contínua em (0,\infty) tem mínimo positivo implica que não há zeros.
Conclusão:
  • Raízes: não existem (nenhuma raiz real).
  • Paridade: nem par nem ímpar (domínio não simétrico).

Passo 4

Assíntotas verticais.
Definição rápida: uma reta vertical t=a é assíntota vertical se o limite de f(t) ao se aproximar de a por dentro do domínio é \pm\infty.
O domínio é (0,\infty). O único ponto de fronteira do domínio é t=0 (à esquerda não há pontos do domínio) e +\infty (não é uma abscissa finita). Verificamos o comportamento em t\to0^+:
\frac{1}{\sqrt{t}}\to+\infty,\qquad \ln t\to -\infty,
mas o termo 1/\sqrt{t} domina em módulo sobre \ln t quando t\to0^+ (porque 1/\sqrt{t} diverge muito mais rápido). Formalmente, \lim_{t\to0^+}f(t)=+\infty. Portanto a reta vertical t=0 (equivalente a x=0 no plano) é uma assíntota vertical do gráfico, no sentido que ao aproximar-se por valores positivos de t a função vai para +\infty.
Não há outra reta vertical (o resto do domínio não tem pontos isolados onde a função explode). Conclusão: existe a assíntota vertical
t=0.

Passo 5

Assíntotas horizontais.
Definição curta: uma reta horizontal y=L é assíntota quando \lim_{t\to\pm\infty}f(t)=L. Aqui apenas faz sentido t\to+\infty.
Calcule o limite quando t\to+\infty:
\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{t}}=0,\qquad \lim_{t\to+\infty}\ln t=+\infty,
portanto \lim_{t\to+\infty}f(t)=+\infty. Não há limite finito, logo não existe assíntota horizontal para t\to+\infty. Para t\to0^+ já vimos que f(t)\to+\infty, o que não é uma assíntota horizontal (é vertical). Conclusão: não há assíntotas horizontais.
Observação adicional (didática): também não existe assíntota oblíqua do tipo y=at+b com a\neq0, porque \ln t cresce mais devagar que qualquer função linear e, na prática, \dfrac{f(t)}{t}\to0 quando t\to\infty; assim não há reta oblíqua que aproxime a função linearmente.

Passo 6

Crescimento, decrescimento e extremos (derivada primeira).
Derivamos f. Uso direto de potências: \dfrac{d}{dt}\big(t^{-1/2}\big) = -\tfrac{1}{2}t^{-3/2} e \dfrac{d}{dt}\ln t = \dfrac{1}{t}. Assim
f'(t)=-\frac{1}{2}t^{-3/2}+\frac{1}{t}.
Para trabalhar melhor, coloque com denominador comum 2t^{3/2}:
f'(t)=\frac{-1+2\sqrt{t}}{2t^{3/2}}.
Análise de sinais (didática): o denominador 2t^{3/2} é positivo para todo t>0. Logo o sinal de f' é o sinal do numerador -1+2\sqrt{t}.
Zeramos o numerador:
-1+2\sqrt{t}=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{t}=\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{1}{4}.
Agora o sinal:
  • Para 0<t<\tfrac{1}{4} tem-se \sqrt{t}<\tfrac12\Rightarrow -1+2\sqrt{t}<0\Rightarrow f'(t)<0. Então f é decrescente em (0,\tfrac14).
  • Para t>\tfrac14 tem-se \sqrt{t}>\tfrac12\Rightarrow -1+2\sqrt{t}>0\Rightarrow f'(t)>0. Então f é crescente em (\tfrac14,\infty).
Como f' muda de negativo para positivo em t=\tfrac14, esse ponto é um mínimo local. Além disso, por comparação de limites (ambos +\infty quando t\to0^+ e t\to\infty), esse mínimo é absoluto (o menor valor da função em todo o domínio).
Valor do mínimo: calcule f\!\left(\tfrac14\right):
f\!\left(\tfrac14\right)=\frac{1}{\sqrt{1/4}}+\ln\!\left(\tfrac14\right)=2+\ln\!\left(\tfrac14\right)=2- \ln 4=2-2\ln 2.
Número aproximado: 2-2\ln 2\approx0,6137.
Resumo:
  • f é decrescente em (0,\tfrac14).
  • f é crescente em (\tfrac14,\infty).
  • t=\tfrac14 é mínimo relativo e, na verdade, mínimo absoluto, com valor f(\tfrac14)=2-2\ln 2.

Passo 7

Concavidade e pontos de inflexão (derivada segunda).
Derivada primeira reescrita para derivar facilmente: f'(t)=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}+t^{-1}. Diferenciando:
f''(t)=\frac{3}{4}t^{-5/2}-t^{-2}.
Coloque com denominador comum 4t^{5/2}:
f''(t)=\frac{3-4\sqrt{t}}{4t^{5/2}}.
Análise de sinais: o denominador é positivo para t>0, então o sinal de f'' vem do numerador 3-4\sqrt{t}.
Zerando o numerador:
3-4\sqrt{t}=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{t}=\tfrac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad t=\left(\tfrac{3}{4}\right)^2=\tfrac{9}{16}.
Sinal:
  • Para 0<t<\tfrac{9}{16}, \sqrt{t}<\tfrac{3}{4}\Rightarrow 3-4\sqrt{t}>0\Rightarrow f''(t)>0: função côncava para cima.
  • Para t>\tfrac{9}{16}, 3-4\sqrt{t}<0\Rightarrow f''(t)<0: função côncava para baixo.
Como f'' troca de sinal em t=\tfrac{9}{16}, esse ponto é um ponto de inflexão. Calcule a ordenada f(\tfrac{9}{16}):
f\!\left(\tfrac{9}{16}\right)=\frac{1}{\sqrt{9/16}}+\ln\!\left(\tfrac{9}{16}\right)=\frac{4}{3}+\ln 9-\ln 16=\frac{4}{3}+2\ln 3-4\ln 2.
Aproximação numérica: \dfrac{4}{3}\approx1,3333 e 2\ln3-4\ln2\approx -0,5754, somando dá aproximadamente 0,7579.
Resumo:
  • Côncava para cima em (0,\tfrac{9}{16}).
  • Côncava para baixo em (\tfrac{9}{16},\infty).
  • Ponto de inflexão em t=\tfrac{9}{16} com coordenada
\left(\tfrac{9}{16},\\ \dfrac{4}{3}+2\ln 3-4\ln 2\right)\approx\left(\tfrac{9}{16},\,0,7579\right).

Passo 8

Juntando as informações para esboçar o gráfico (orientação prática e pontos notáveis).
Informações-chave a marcar no esboço:
  • Domínio: t>0. Marcar o eixo vertical t=0 como assíntota vertical com f(t)\to+\infty quando t\to0^+.
  • Comportamento para t\to+\infty: f(t)\to+\infty (cresce lentamente por conta do \ln, sem assíntota horizontal).
  • Ponto crítico (mínimo absoluto): t=\tfrac14 com
f\!\left(\tfrac14\right)=2-2\ln 2\approx0,6137.
Marcar o ponto \left(\tfrac14,\\\ 2-2\ln 2\right) no gráfico.
  • Intervalos monotônicos: decrescente em (0,\tfrac14), crescente em (\tfrac14,\infty).
  • Ponto de inflexão: t=\tfrac{9}{16} com coordenada dada no passo anterior (aprox. 0,7579). Indicar mudança de concavidade ali (antes côncava para cima, depois côncava para baixo).
  • Ver que f(t)>0 para todo t (não cruza o eixo y=0).
Dicas práticas para desenhar:
  • Para t muito pequeno, f sobe muito (por 1/\sqrt{t}), então curve muito para cima perto de t=0.
  • A função desce até atingir o mínimo em t=\tfrac14 (valor por volta de 0,61), depois sobe lentamente (logarítmico) mas indefinidamente.
  • O ponto de inflexão t=\tfrac{9}{16} ocorre depois do mínimo; antes dele a curvatura é “para cima” (parecido com uma tigela), depois fica “para baixo” (parecido com um topo suave) enquanto a função cresce para +\infty.
Esses dados permitem um esboço preciso do gráfico com os pontos notáveis marcados.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Raízes: nenhuma (não há t>0 tal que f(t)=0)
Paridade: não é nem par nem ímpar (domínio não simétrico)
Assíntotas verticais: t=0 (com \lim_{t\to0^+}f(t)=+\infty)
Assíntotas horizontais: nenhuma
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em (0,\tfrac14); crescente em (\tfrac14,\infty)
Extremos: mínimo absoluto em t=\tfrac14 com valor f(\tfrac14)=2-2\ln 2\approx0,6137
Concavidade e inflexão: côncava para cima em (0,\tfrac{9}{16}); côncava para baixo em (\tfrac{9}{16},\infty); ponto de inflexão em t=\tfrac{9}{16} com f(\tfrac{9}{16})=\dfrac{4}{3}+2\ln 3-4\ln 2\approx0,7579

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