Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, sucessivamente:
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e dizer se é par, ímpar ou nenhuma das opções. - Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a ausência).
- Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a ausência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
. - Determinar os pontos do domínio onde
atinge máximos ou mínimos e se são relativos/absolutos. - Determinar intervalos de concavidade (côncavo para cima/para baixo) e pontos de inflexão (se houver).
- Com todas as informações, esboçar o gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis.
Informações relevantes dadas: a função está escrita em termos de
e
, portanto quaisquer restrições de domínio vêm de onde essas expressões são definidas.
Passo 2
Domínio.
Explicação pedagógica curta: a raiz quadrada exige
quando usamos raiz real; porém ela aparece no denominador como
, então não podemos ter
. Além disso,
só está definido para
. Combinando as duas restrições concluímos que o domínio é apenas os reais estritamente positivos.
Explicação pedagógica curta: a raiz quadrada
Conclusão: o domínio de
é
Passo 3
Raízes e paridade.
Primeiro: paridade (didática). Uma função é par se para todo
no domínio e ímpar se
. Aqui o domínio é
, que não é simétrico em relação a zero; portanto não faz sentido falar em par ou ímpar no domínio total — concluímos que
não é nem par nem ímpar (ou melhor: não satisfaz as definições usuais porque o domínio não é simétrico). Em linguagem prática: nenhuma das opções.
Primeiro: paridade (didática). Uma função é par se
Agora as raízes
. É a equação
Para facilitar, faça a troca
(isso é comum:
e
). Então
Usando
obtemos a função em
:
e queremos
.
Em vez de buscar uma solução numérica complicada, vamos estudar
e mostrar que nunca zera. Calcule a derivada (para achar extremos de
):
Zeramos
quando
, isto é,
. O sinal de
muda de negativo (para
) para positivo (para
), portanto
é um mínimo global de
em
.
Avalie
nesse ponto mínimo:
Como
, temos
. Assim o mínimo de
é positivo, logo
para todo
. Voltando para
, isso mostra que
para todo
. Em particular,
não possui raízes reais.
Resumo didático: mostrar que uma função contínua em
tem mínimo positivo implica que não há zeros.
Conclusão:
- Raízes: não existem (nenhuma raiz real).
- Paridade: nem par nem ímpar (domínio não simétrico).
Passo 4
Assíntotas verticais.
Definição rápida: uma reta vertical é assíntota vertical se o limite de
ao se aproximar de
por dentro do domínio é
.
Definição rápida: uma reta vertical
O domínio é
. O único ponto de fronteira do domínio é
(à esquerda não há pontos do domínio) e
(não é uma abscissa finita). Verificamos o comportamento em
:
mas o termo
domina em módulo sobre
quando
(porque
diverge muito mais rápido). Formalmente,
. Portanto a reta vertical
(equivalente a
no plano) é uma assíntota vertical do gráfico, no sentido que ao aproximar-se por valores positivos de
a função vai para
.
Não há outra reta vertical (o resto do domínio não tem pontos isolados onde a função explode). Conclusão: existe a assíntota vertical
Passo 5
Assíntotas horizontais.
Definição curta: uma reta horizontal é assíntota quando
. Aqui apenas faz sentido
.
Definição curta: uma reta horizontal
Calcule o limite quando
:
portanto
. Não há limite finito, logo não existe assíntota horizontal para
. Para
já vimos que
, o que não é uma assíntota horizontal (é vertical). Conclusão: não há assíntotas horizontais.
Observação adicional (didática): também não existe assíntota oblíqua do tipo
com
, porque
cresce mais devagar que qualquer função linear e, na prática,
quando
; assim não há reta oblíqua que aproxime a função linearmente.
Passo 6
Crescimento, decrescimento e extremos (derivada primeira).
Derivamos . Uso direto de potências:
e
. Assim
Derivamos
Para trabalhar melhor, coloque com denominador comum
:
Análise de sinais (didática): o denominador
é positivo para todo
. Logo o sinal de
é o sinal do numerador
.
Zeramos o numerador:
Agora o sinal:
- Para
tem-se . Então é decrescente em . - Para
tem-se . Então é crescente em .
Como
muda de negativo para positivo em
, esse ponto é um mínimo local. Além disso, por comparação de limites (ambos
quando
e
), esse mínimo é absoluto (o menor valor da função em todo o domínio).
Valor do mínimo: calcule
:
Número aproximado:
.
Resumo:
-
é decrescente em . -
é crescente em . -
é mínimo relativo e, na verdade, mínimo absoluto, com valor .
Passo 7
Concavidade e pontos de inflexão (derivada segunda).
Derivada primeira reescrita para derivar facilmente: . Diferenciando:
Derivada primeira reescrita para derivar facilmente:
Coloque com denominador comum
:
Análise de sinais: o denominador é positivo para
, então o sinal de
vem do numerador
.
Zerando o numerador:
Sinal:
- Para
, : função côncava para cima. - Para
, : função côncava para baixo.
Como
troca de sinal em
, esse ponto é um ponto de inflexão. Calcule a ordenada
:
Aproximação numérica:
e
, somando dá aproximadamente
.
Resumo:
- Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
. - Ponto de inflexão em
com coordenada
Passo 8
Juntando as informações para esboçar o gráfico (orientação prática e pontos notáveis).
Informações-chave a marcar no esboço:
Informações-chave a marcar no esboço:
- Domínio:
. Marcar o eixo vertical como assíntota vertical com quando . - Comportamento para
: (cresce lentamente por conta do , sem assíntota horizontal). - Ponto crítico (mínimo absoluto):
com
Marcar o ponto
no gráfico.
- Intervalos monotônicos: decrescente em
, crescente em . - Ponto de inflexão:
com coordenada dada no passo anterior (aprox. ). Indicar mudança de concavidade ali (antes côncava para cima, depois côncava para baixo). - Ver que
para todo (não cruza o eixo ).
Dicas práticas para desenhar:
- Para
muito pequeno, sobe muito (por ), então curve muito para cima perto de . - A função desce até atingir o mínimo em
(valor por volta de ), depois sobe lentamente (logarítmico) mas indefinidamente. - O ponto de inflexão
ocorre depois do mínimo; antes dele a curvatura é “para cima” (parecido com uma tigela), depois fica “para baixo” (parecido com um topo suave) enquanto a função cresce para .
Esses dados permitem um esboço preciso do gráfico com os pontos notáveis marcados.
Resposta
Domínio:
Raízes: nenhuma (não há tal que
)
Paridade: não é nem par nem ímpar (domínio não simétrico)
Assíntotas verticais: (com
)
Assíntotas horizontais: nenhuma
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em ; crescente em
Extremos: mínimo absoluto em com valor
Concavidade e inflexão: côncava para cima em ; côncava para baixo em
; ponto de inflexão em
com
Raízes: nenhuma (não há
Paridade: não é nem par nem ímpar (domínio não simétrico)
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais: nenhuma
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em
Extremos: mínimo absoluto em
Concavidade e inflexão: côncava para cima em