Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
Informações dadas:
- Coeficientes:
e . - Termo independente:
.
Pergunta: encontrar todos os parescom que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Primeiro passo teórico importante (bem mastigado): uma equação linear diofantina
tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum
divide
(ou seja,
). Então precisamos calcular
e verificar se divide
.
Vamos calcular
pelo algoritmo de Euclides, passo a passo:
Como o último resto não-nulo é
, temos
Como
divide qualquer inteiro, em particular divide
, a condição de existência de solução está satisfeita: existem soluções inteiras.
Passo 3
Agora precisamos encontrar uma solução particular
. Para isso usamos o algoritmo de Euclides estendido (ou a identidade de Bézout): como
, existem inteiros
tais que
A maneira prática é voltar nas divisões do algoritmo de Euclides para escrever
como combinação linear de
e
.
Voltando nos restos:
Mas
, então
E
, então
Desenvolvendo:
Portanto uma solução para a combinação de Bézout é
pois
Passo 4
Multiplicamos a identidade de Bézout por
para obter uma solução particular da equação original:
Logo uma solução particular é
Verificação rápida:
confere.
Passo 5
Agora a parte estrutural: descrição de todas as soluções. Teorema prático (explicado): se
é uma solução de
e
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
é um parâmetro inteiro (
). Por que isso funciona? Porque, ao substituir,
e qualquer solução diferente de
difere por esse tipo de combinação inteira (prova simples baseada em dividir a diferença de duas soluções por
).
No nosso caso
,
,
, e usamos o particular
. Assim a família de soluções é obtida variando
.
Passo 6
Para fixar a intuição, posso dar um exemplo concreto de solução obtida escolhendo
:
Verificando:
. Então
é uma solução particular com componentes menores, e fica claro que variando
obtemos todas as soluções inteiras.