Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares:
17 x+54 y=8

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
17x+54y=8.
Informações dadas:
  • Coeficientes: a=17 e b=54.
  • Termo independente: c=8.
    Pergunta: encontrar todos os pares (x,y) com x,y\in\mathbb{Z} que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Primeiro passo teórico importante (bem mastigado): uma equação linear diofantina
ax+by=c
tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum d=\gcd(a,b) divide c (ou seja, d\mid c). Então precisamos calcular \gcd(17,54) e verificar se divide 8.
Vamos calcular \gcd(17,54) pelo algoritmo de Euclides, passo a passo:
54=17\cdot 3+3,
17=3\cdot 5+2,
3=2\cdot 1+1,
2=1\cdot 2+0.
Como o último resto não-nulo é 1, temos
\gcd(17,54)=1.
Como 1 divide qualquer inteiro, em particular divide 8, a condição de existência de solução está satisfeita: existem soluções inteiras.

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma solução particular (x_0,y_0). Para isso usamos o algoritmo de Euclides estendido (ou a identidade de Bézout): como \gcd(17,54)=1, existem inteiros u,v tais que
17u+54v=1.
A maneira prática é voltar nas divisões do algoritmo de Euclides para escrever 1 como combinação linear de 17 e 54.
Voltando nos restos:
1=3-2\cdot 1.
Mas 2=17-3\cdot 5, então
1=3-(17-3\cdot 5)=3\cdot 6-17.
E 3=54-17\cdot 3, então
1=(54-17\cdot 3)\cdot 6-17.
Desenvolvendo:
1=54\cdot 6 -17\cdot 18 -17 =54\cdot 6 -17\cdot 19.
Portanto uma solução para a combinação de Bézout é
u=-19,\qquad v=6,
pois
17\cdot(-19)+54\cdot 6 = -323+324=1.

Passo 4

Multiplicamos a identidade de Bézout por c=8 para obter uma solução particular da equação original:
17\cdot(-19\cdot 8) + 54\cdot(6\cdot 8) = 8.
Logo uma solução particular é
x_0 = -19\cdot 8 = -152,\qquad y_0 = 6\cdot 8 = 48.
Verificação rápida:
17(-152)+54(48)= -2584 + 2592 = 8,
confere.

Passo 5

Agora a parte estrutural: descrição de todas as soluções. Teorema prático (explicado): se (x_0,y_0) é uma solução de ax+by=c e d=\gcd(a,b), então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
onde t é um parâmetro inteiro ( t\in\mathbb{Z}). Por que isso funciona? Porque, ao substituir,
a\bigl(x_0+\tfrac{b}{d}t\bigr)+b\bigl(y_0-\tfrac{a}{d}t\bigr) = (ax_0+by_0) + t\bigl(ab/d - ab/d\bigr) = c,
e qualquer solução diferente de (x_0,y_0) difere por esse tipo de combinação inteira (prova simples baseada em dividir a diferença de duas soluções por d).
No nosso caso d=1, a=17, b=54, e usamos o particular (x_0,y_0)=(-152,48). Assim a família de soluções é obtida variando t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Para fixar a intuição, posso dar um exemplo concreto de solução obtida escolhendo t=3:
x=-152+54\cdot 3 = -152+162 = 10,
y=48-17\cdot 3 = 48-51 = -3.
Verificando: 17\cdot 10 + 54\cdot(-3) = 170-162=8. Então (10,-3) é uma solução particular com componentes menores, e fica claro que variando t obtemos todas as soluções inteiras.

Resposta

x=-152+54t,\quad y=48-17t,\quad t\in\mathbb{Z}

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