Considere a seguinte função: (2 \mathrm{EE}-2013.2) \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{3 \chi^{2}-2}{\chi^{2}-1}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. A função dada (retirando a parte inicial que parece etiqueta) é
f(x)=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-1}.
As perguntas sucessivas são:
  • Determinar o domínio de f.
  • (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e dizer se f é par, ímpar ou nenhuma das opções.
  • Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência).
  • Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência).
  • Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Determinar os pontos de máximo e mínimo (se houver), e se são relativos ou absolutos.
  • Determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo) e pontos de inflexão (se houver).
  • Usando tudo isso, esboçar o gráfico e indicar coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Não vou resolver nada ainda aqui — só listei o que o problema pede e a função que vamos estudar.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: simplificar a expressão para ver comportamento assintótico com facilidade. Faço a manipulação algébrica
f(x)=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-1}=\frac{3x^{2}-3+1}{x^{2}-1}=3+\frac{1}{x^{2}-1}.
Essa forma é muito prática: mostra que f(x) é a soma de 3 e de uma parcela \dfrac{1}{x^{2}-1} que tende a zero quando |x|\to\infty. Guardaremos isso para assíntotas e sinais.

Passo 3

Determinar o domínio. Regra: função racional \dfrac{\text{polinômio}}{\text{polinômio}}ôô está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é x^{2}-1. Então impomos
x^{2}-1\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq\pm1.
Portanto o domínio é a união dos intervalos que evitam \pm1:
\text{Dom}(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 4

Raízes e paridade.
  • Raízes: zeros de f ocorrem quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Solve 3x^{2}-2=0:
3x^{2}-2=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.
Esses valores satisfazem x\in(-1,1), então são raízes válidas. Em forma simplificada: x=\pm\sqrt{2/3}.
  • Paridade: verifico f(-x). Como x^{2} é par, temos
f(-x)=\frac{3(-x)^{2}-2}{(-x)^{2}-1}=\frac{3x^{2}-2}{x^{2}-1}=f(x).
Logo f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 5

Assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem em pontos do domínio onde o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor não nulo, levando a \pm\infty. O denominador zera em x=\pm1. Verifico o numerador nesses pontos:
3(1)^{2}-2=1\neq0,\qquad 3(-1)^{2}-2=1\neq0.
Portanto em x=1 e x=-1 o numerador não anula, então há assíntotas verticais. As equações são
x=1\quad\text{e}\quad x=-1.
Para entender o comportamento lateral (útil no esboço): usando a forma f(x)=3+\dfrac{1}{x^{2}-1},
  • Quando x\to1^{-} temos x^{2}-1\to0^{-}, então \dfrac{1}{x^{2}-1}\to -\infty e f(x)\to -\infty.
  • Quando x\to1^{+} temos x^{2}-1\to0^{+}, então \dfrac{1}{x^{2}-1}\to +\infty e f(x)\to +\infty.
  • Quando x\to-1^{+} (um pouco maior que -1) tem-se x^{2}-1\to0^{-} f\to -\infty.
  • Quando x\to-1^{-} tem-se x^{2}-1\to0^{+} f\to +\infty.

Passo 6

Assíntota horizontal.
Para x\to\pm\infty uso a forma já obtida:
f(x)=3+\frac{1}{x^{2}-1}.
Como \dfrac{1}{x^{2}-1}\to0 quando |x|\to\infty, segue
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=3.
Logo existe uma assíntota horizontal y=3. (Isto também se vê porque numerador e denominador têm o mesmo grau e a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes 3/1=3.)

Passo 7

Derivada primeira — método e cálculo detalhado (para monotonicidade).
Vou usar a forma f(x)=\dfrac{3x^{2}-2}{x^{2}-1} e a regra do quociente. Regra do quociente: se f=\dfrac{u}{v} então
f'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=3x^{2}-2 e v(x)=x^{2}-1. Então u'(x)=6x e v'(x)=2x. Substituindo:
f'(x)=\frac{6x(x^{2}-1)-(3x^{2}-2)2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Faço as contas no numerador passo a passo:
6x(x^{2}-1)=6x^{3}-6x,
(3x^{2}-2)2x=6x^{3}-4x.
Subtraindo:
6x^{3}-6x-(6x^{3}-4x)=-6x+4x=-2x.
Portanto
f'(x)=\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Observação: o denominador (x^{2}-1)^{2} é sempre positivo para x\neq\pm1, então o sinal de f' é dado apenas pelo numerador -2x.

Passo 8

Monotonicidade e extremos.
  • Pontos críticos: onde f'=0 ou f' não existe (em pontos do domínio). Aqui f'=0 quando -2x=0\Rightarrow x=0. Os pontos x=\pm1 não pertencem ao domínio, então não são candidatos a extremos finitos.
  • Sinal de f':
    • Para x<0: -2x>0 f'>0 f é crescente.
    • Para x>0: -2x<0 f'<0 f é decrescente.
Levando em conta o domínio com os buracos em \pm1, isso dá os intervalos:
  • f é crescente em (-\infty,-1)\cup(-1,0).
  • f é decrescente em (0,1)\cup(1,\infty).
  • Natureza do ponto crítico x=0: como a função aumenta antes de 0 e diminui depois de 0, x=0 é um ponto de máximo relativo. O valor é
f(0)=\frac{3\cdot0^{2}-2}{0^{2}-1}=\frac{-2}{-1}=2.
Esse máximo é relativo (local), não absoluto, pois a função atinge valores arbitrariamente grandes positivos perto das assíntotas (por exemplo f(x)\to+\infty quando x\to1^{+}), e, além disso, o valor limite no infinito é 3>2 (então existe valores maiores que 2 para x grandes). Portanto é máximo relativo, não absoluto.
Não há pontos de mínimo relativos em pontos do domínio, pois não existe ponto crítico que seja mínimo (o único crítico é 0, que é máximo), e nas vizinhanças das assíntotas a função tende a -\infty em alguns lados (logo não há mínimo absoluto finito).

Passo 9

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão.
É mais simples derivar a expressão f'(x)= -2x(x^{2}-1)^{-2} por regra do produto. Faço passo a passo:
Se f'(x)=-2x\cdot (x^{2}-1)^{-2}, então
f''(x)=(-2)\cdot (x^{2}-1)^{-2} + (-2x)\cdot\left(-2\right)(x^{2}-1)^{-3}\cdot 2x,
pois \dfrac{d}{dx}(x^{2}-1)^{-2}=-2(x^{2}-1)^{-3}\cdot 2x. Calculando cuidadosamente:
  • Primeiro termo: -2(x^{2}-1)^{-2}.
  • Segundo termo: (-2x)\cdot(-4x)(x^{2}-1)^{-3}=8x^{2}(x^{2}-1)^{-3}.
Somando e colocando em fator comum (x^{2}-1)^{-3}:
f''(x)=\frac{-2(x^{2}-1)+8x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}}=\frac{6x^{2}+2}{(x^{2}-1)^{3}}.
Posso fatorar um 2:
f''(x)=\frac{2(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Análise do sinal:
  • O numerador 2(3x^{2}+1) é estritamente positivo para todo x.
  • O sinal de f'' depende, portanto, do sinal de (x^{2}-1)^{3}, que é:
    • positivo quando |x|>1 (pois x^{2}-1>0),
    • negativo quando |x|<1 (pois x^{2}-1<0).
Conclusões:
  • f''(x)>0 para x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty) f é côncava para cima (convexa) nesses intervalos.
  • f''(x)<0 para x\in(-1,1) f é côncava para baixo nesse intervalo.
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda e geralmente onde f''(x)=0 ou f'' deixa de existir. Aqui f''(x)=0 nunca ocorre porque o numerador não zera. Em x=\pm1 a concavidade muda de sinal, mas esses pontos não pertencem ao domínio (são assíntotas verticais), portanto não são pontos de inflexão do gráfico de f (um ponto de inflexão precisa ser um ponto do domínio). Conclusão: não há pontos de inflexão em \text{Dom}(f).

Passo 10

Resumo dos pontos e informações úteis para esboçar o gráfico (coordenadas e comportamento):
  • Domínio: \;(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
  • Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
  • Assíntota horizontal: y=3.
  • Raízes (interseções com o eixo x): x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\approx\pm0{,}816.
  • Interseção com o eixo y: (0,2) (também máximo relativo).
  • Ponto crítico: (0,2) máximo relativo.
  • Simetria: f é par (simetria em relação ao eixo y).
  • Monotonicidade:
    • crescente em (-\infty,-1)\cup(-1,0),
    • decrescente em (0,1)\cup(1,\infty).
  • Concavidade:
    • côncava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty),
    • côncava para baixo em (-1,1).
  • Comportamento perto das assíntotas:
    • x\to1^{-}: f\to -\infty;
    • x\to1^{+}: f\to +\infty;
    • x\to-1^{-}: f\to +\infty;
    • x\to-1^{+}: f\to -\infty.
  • Comportamento no infinito: f(x)\to3 quando x\to\pm\infty, e para |x|>1 tem f(x)>3 (pois f(x)-3=\dfrac{1}{x^{2}-1}>0 para |x|>1); para |x|<1 tem f(x)<3.
Esses dados permitem traçar um esboço: duas curvas simétricas (à esquerda e à direita do eixo y), com ramos que cruzam o eixo x em \pm\sqrt{2/3}, têm um pico em (0,2) e assíntotas verticais em \pm1 e horizontal em y=3. No ramo (1,\infty) a curva vem de +\infty em 1^{+}, decresce, está acima de y=3 e aproxima-se de y=3 por cima quando x\to\infty. No intervalo (0,1) a curva desce de 2 até -\infty em 1^{-}, sendo côncava para baixo. À esquerda tudo é simétrico.

Resposta

Domínio: (- \infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
Raízes: x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}. Paridade: f é par.
Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
Assíntota horizontal: y=3.
Intervalos de crescimento: (-\infty,-1)\cup(-1,0).
Intervalos de decrescimento: (0,1)\cup(1,\infty).
Pontos extremos: máximo relativo em x=0 com f(0)=2 (ponto (0,2)); não há mínimos relativos nem extremos absolutos finitos.
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); côncava para baixo em (-1,1). Pontos de inflexão: nenhum em \text{Dom}(f).
Pontos notáveis para o esboço: raízes \left(\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}},0\right), ponto (0,2), assíntotas x=\pm1 e y=3.

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