Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. A função dada (retirando a parte inicial que parece etiqueta) é
As perguntas sucessivas são:
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e dizer se é par, ímpar ou nenhuma das opções. - Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência).
- Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
. - Determinar os pontos de máximo e mínimo (se houver), e se são relativos ou absolutos.
- Determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo) e pontos de inflexão (se houver).
- Usando tudo isso, esboçar o gráfico e indicar coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Não vou resolver nada ainda aqui — só listei o que o problema pede e a função que vamos estudar.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: simplificar a expressão para ver comportamento assintótico com facilidade. Faço a manipulação algébrica
Essa forma é muito prática: mostra que
é a soma de
e de uma parcela
que tende a zero quando
. Guardaremos isso para assíntotas e sinais.
Passo 3
Determinar o domínio. Regra: função racional
está definida sempre que o denominador for diferente de zero. Aqui o denominador é
. Então impomos
Portanto o domínio é a união dos intervalos que evitam
:
Passo 4
Raízes e paridade.
- Raízes: zeros de
ocorrem quando o numerador é zero (e o denominador não é zero). Solve :
Esses valores satisfazem
, então são raízes válidas. Em forma simplificada:
.
- Paridade: verifico
. Como é par, temos
Logo
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 5
Assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem em pontos do domínio onde o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor não nulo, levando a
. O denominador zera em
. Verifico o numerador nesses pontos:
Portanto em
e
o numerador não anula, então há assíntotas verticais. As equações são
Para entender o comportamento lateral (útil no esboço): usando a forma
,
- Quando
temos , então e . - Quando
temos , então e . - Quando
(um pouco maior que ) tem-se → . - Quando
tem-se → .
Passo 6
Assíntota horizontal.
Para
uso a forma já obtida:
Como
quando
, segue
Logo existe uma assíntota horizontal
. (Isto também se vê porque numerador e denominador têm o mesmo grau e a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes
.)
Passo 7
Derivada primeira — método e cálculo detalhado (para monotonicidade).
Vou usar a forma
e a regra do quociente. Regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Substituindo:
Faço as contas no numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Observação: o denominador
é sempre positivo para
, então o sinal de
é dado apenas pelo numerador
.
Passo 8
Monotonicidade e extremos.
-
Pontos críticos: onde
ou não existe (em pontos do domínio). Aqui quando . Os pontos não pertencem ao domínio, então não são candidatos a extremos finitos. -
Sinal de
: - Para
: ⇒ ⇒ é crescente. - Para
: ⇒ ⇒ é decrescente.
- Para
Levando em conta o domínio com os buracos em
, isso dá os intervalos:
-
é crescente em . -
é decrescente em . -
Natureza do ponto crítico
: como a função aumenta antes de e diminui depois de , é um ponto de máximo relativo. O valor é
Esse máximo é relativo (local), não absoluto, pois a função atinge valores arbitrariamente grandes positivos perto das assíntotas (por exemplo
quando
), e, além disso, o valor limite no infinito é
(então existe valores maiores que
para
grandes). Portanto é máximo relativo, não absoluto.
Não há pontos de mínimo relativos em pontos do domínio, pois não existe ponto crítico que seja mínimo (o único crítico é
, que é máximo), e nas vizinhanças das assíntotas a função tende a
em alguns lados (logo não há mínimo absoluto finito).
Passo 9
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão.
É mais simples derivar a expressão
por regra do produto. Faço passo a passo:
Se
, então
pois
. Calculando cuidadosamente:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
Somando e colocando em fator comum
:
Posso fatorar um
:
Análise do sinal:
- O numerador
é estritamente positivo para todo . - O sinal de
depende, portanto, do sinal de , que é: - positivo quando
(pois ), - negativo quando
(pois ).
- positivo quando
Conclusões:
-
para ⇒ é côncava para cima (convexa) nesses intervalos. -
para ⇒ é côncava para baixo nesse intervalo.
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda e geralmente onde
ou
deixa de existir. Aqui
nunca ocorre porque o numerador não zera. Em
a concavidade muda de sinal, mas esses pontos não pertencem ao domínio (são assíntotas verticais), portanto não são pontos de inflexão do gráfico de
(um ponto de inflexão precisa ser um ponto do domínio). Conclusão: não há pontos de inflexão em
.
Passo 10
Resumo dos pontos e informações úteis para esboçar o gráfico (coordenadas e comportamento):
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Raízes (interseções com o eixo
): . - Interseção com o eixo
: (também máximo relativo). - Ponto crítico:
máximo relativo. - Simetria:
é par (simetria em relação ao eixo ). - Monotonicidade:
- crescente em
, - decrescente em
.
- crescente em
- Concavidade:
- côncava para cima em
, - côncava para baixo em
.
- côncava para cima em
- Comportamento perto das assíntotas:
-
: ; -
: ; -
: ; -
: .
-
- Comportamento no infinito:
quando , e para tem (pois para ); para tem .
Esses dados permitem traçar um esboço: duas curvas simétricas (à esquerda e à direita do eixo
), com ramos que cruzam o eixo
em
, têm um pico em
e assíntotas verticais em
e horizontal em
. No ramo
a curva vem de
em
, decresce, está acima de
e aproxima-se de
por cima quando
. No intervalo
a curva desce de
até
em
, sendo côncava para baixo. À esquerda tudo é simétrico.
Resposta
Domínio:
.
Raízes:
. Paridade:
é par.
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal:
.
Intervalos de crescimento:
.
Intervalos de decrescimento:
.
Pontos extremos: máximo relativo em
com
(ponto
); não há mínimos relativos nem extremos absolutos finitos.
Concavidade: côncava para cima em
; côncava para baixo em
. Pontos de inflexão: nenhum em
.
Pontos notáveis para o esboço: raízes
, ponto
, assíntotas
e
.