Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, sucessivamente:
- determinar o domínio de
; - (opcional) determinar as raízes de
(se houver) e decidir se é par, ímpar ou nenhuma das opções; - obter as assíntotas verticais do gráfico de
(ou justificar a não existência); - obter as equações das assíntotas horizontais do gráfico de
(ou justificar a não existência); - encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
; - determinar os pontos do domínio onde
tem máximo ou mínimo (se houver) e se são absolutos ou relativos; - determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima e para baixo) e os pontos de inflexão (se houver);
- com tudo isso, esboçar o gráfico indicando coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
Todas as informações necessárias estão na definição de
acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Domínio: explicar o que é preciso considerar.
- Exponenciais
e estão definidas para todo . - Soma e divisão por
preservam definição. Portanto o quociente também está definido para todo real.
Conclusão:
Passo 3
Raízes e paridade — primeiro as raízes.
- Usar uma desigualdade simples: para qualquer real
vale . Tomando obtemos
o que expande para
Dividindo por
dá
com igualdade só quando
, isto é, quando
.
- Como
para todo , a função não zera em nenhum ponto do domínio.
Conclusão sobre raízes:
Paridade:
- Calcular
:
- Logo
é par (simétrica em torno do eixo ).
Conclusão sobre paridade:
Passo 4
Assíntotas verticais.
- Assíntota vertical ocorre quando a função tende a
ao se aproximar de algum ponto finito do domínio onde a função não está definida. - Aqui
está definida e é finita para todo .
Conclusão:
Passo 5
Assíntotas horizontais.
- Calcular os limites nas extremidades:
Fatorando
:
- Para
fatorar ou notar simetria:
- Como ambos os limites nas extremidades do eixo são
, não há assíntota horizontal (que exigiria limite finito).
Também não existe assíntota oblíqua linear, porquecresce exponencialmente e (logo não se aproxima de uma reta ).
Conclusão:
Passo 6
Derivada primeira e monotonicidade — começar por derivar.
- Como derivada de
é e de é , temos
- Estudar o sinal de
: - Para
: então . - Para
: . - Para
: então .
- Para
- Interpretação (regra básica): onde
a função cresce; onde a função decresce.
Conclusões sobre monotonicidade:
Em
há ponto crítico (
).
Passo 7
Extremos (usar mudança de sinal de
e o teste da segunda derivada).
- Observação do sinal de
: passa de negativo (à esquerda de ) para positivo (à direita de ). Isso implica que em há um mínimo local. - Segundo teste: derivada segunda
Em
tem-se
, confirmando mínimo local em
.
- Como já vimos
para todo e , esse mínimo é também absoluto (valor mínimo global). - Não há máximos, pois
quando .
Conclusões sobre extremos:
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão.
- Já calculamos
. - Como
para todo , tem-se em todo . - Definição prática: se
num intervalo, a curva é côncava para cima ali; se , côncava para baixo.
Conclusões:
Passo 9
Valores numéricos e pontos notáveis para esboço.
- Ponto de mínimo:
. - Alguns valores para referência (aproximações úteis em prova):
- Comportamento nas extremidades:
muito rapidamente quando cresce (crescimento exponencial). - Simetria: por ser função par, basta desenhar para
e espelhar para . - Concavidade: como é côncava para cima em todo
, a curva parece “taça” virada para cima com fundo em e subindo cada vez mais rápido para as duas extremidades.
Instruções para esboço: - Marcar o ponto
. - Marcar pontos aproximados
e . - Desenhar ramo direito crescente, sempre curvando para cima, aproximando-se da forma da função
para ; espelhar simetricamente para o lado esquerdo.
Resposta
Domínio:
.
Raízes e paridade: não há raízes reais;
é par.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma (também não há assíntotas oblíquas lineares).
Crescimento/decrescimento:
é decrescente em
e crescente em
.
Extremos: mínimo absoluto em
com
. Não há máximos.
Concavidade e inflexão:
é côncava para cima em
; não há pontos de inflexão.
Pontos notáveis para o gráfico:
mínimo;
;
.