Considere a seguinte função: \operatorname{cosh} (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
e pede, sucessivamente:
  • determinar o domínio de f;
  • (opcional) determinar as raízes de f (se houver) e decidir se f é par, ímpar ou nenhuma das opções;
  • obter as assíntotas verticais do gráfico de f (ou justificar a não existência);
  • obter as equações das assíntotas horizontais do gráfico de f (ou justificar a não existência);
  • encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f;
  • determinar os pontos do domínio onde f tem máximo ou mínimo (se houver) e se são absolutos ou relativos;
  • determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima e para baixo) e os pontos de inflexão (se houver);
  • com tudo isso, esboçar o gráfico indicando coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
Todas as informações necessárias estão na definição de f acima; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Domínio: explicar o que é preciso considerar.
  • Exponenciais e^{x} e e^{-x} estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.
  • Soma e divisão por 2 preservam definição. Portanto o quociente \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} também está definido para todo real.
    Conclusão:
\text{Domínio de }f=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).í

Passo 3

Raízes e paridade — primeiro as raízes.
  • Usar uma desigualdade simples: para qualquer real t vale (t-1/t)^2\ge0. Tomando t=e^{x/2}>0 obtemos
\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\ge0
o que expande para
e^{x}+e^{-x}-2\ge0.
Dividindo por 2
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\ge1,
com igualdade só quando e^{x/2}-e^{-x/2}=0, isto é, quando x=0.
  • Como \operatorname{cosh}(x)\ge1>0 para todo x, a função não zera em nenhum ponto do domínio.
    Conclusão sobre raízes:
\text{Não existem raízes reais (nenhum }x\text{ tal que }f(x)=0).ãí
Paridade:
  • Calcular \operatorname{cosh}(-x):
\operatorname{cosh}(-x)=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{cosh}(x).
  • Logo f é par (simétrica em torno do eixo y).
    Conclusão sobre paridade:
f \text{ é par.}é

Passo 4

Assíntotas verticais.
  • Assíntota vertical ocorre quando a função tende a \pm\infty ao se aproximar de algum ponto finito do domínio onde a função não está definida.
  • Aqui f está definida e é finita para todo x\in\mathbb{R}.
    Conclusão:
\text{Não existem assíntotas verticais.}ãí

Passo 5

Assíntotas horizontais.
  • Calcular os limites nas extremidades:
\lim_{x\to\infty}\operatorname{cosh}(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Fatorando e^{x}:
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}\left(1+e^{-2x}\right)}{2}\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to\infty}\operatorname{cosh}(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{2}\left(1+e^{-2x}\right)=\infty.
  • Para x\to -\infty fatorar e^{-x} ou notar simetria:
\lim_{x\to -\infty}\operatorname{cosh}(x)=\lim_{x\to\infty}\operatorname{cosh}(-x)=\infty.
  • Como ambos os limites nas extremidades do eixo são +\infty, não há assíntota horizontal (que exigiria limite finito).
    Também não existe assíntota oblíqua linear, porque \operatorname{cosh}(x) cresce exponencialmente e \lim_{x\to\infty}\dfrac{\operatorname{cosh}(x)}{x}=\infty (logo não se aproxima de uma reta ax+b).
    Conclusão:
\text{Não existem assíntotas horizontais (nem oblíquas lineares usuais).}ãíí

Passo 6

Derivada primeira e monotonicidade — começar por derivar.
  • Como derivada de e^{x} é e^{x} e de e^{-x} é -e^{-x}, temos
f'(x)=\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
  • Estudar o sinal de \operatorname{sinh}(x):
    • Para x>0: e^{x}>e^{-x} então \operatorname{sinh}(x)>0.
    • Para x=0: \operatorname{sinh}(0)=0.
    • Para x<0: e^{x}<e^{-x} então \operatorname{sinh}(x)<0.
  • Interpretação (regra básica): onde f'(x)>0 a função cresce; onde f'(x)<0 a função decresce.
    Conclusões sobre monotonicidade:
\text{\(f\) é decrescente em }\left(-\infty,0\right)\quad\text{e crescente em }\left(0,\infty\right).é
Em x=0 há ponto crítico ( f'(0)=0).

Passo 7

Extremos (usar mudança de sinal de f' e o teste da segunda derivada).
  • Observação do sinal de f': passa de negativo (à esquerda de 0) para positivo (à direita de 0). Isso implica que em x=0 há um mínimo local.
  • Segundo teste: derivada segunda
f''(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x).
Em x=0 tem-se f''(0)=\operatorname{cosh}(0)=\dfrac{e^{0}+e^{0}}{2}=1>0, confirmando mínimo local em x=0.
  • Como já vimos \operatorname{cosh}(x)\ge1 para todo x e \operatorname{cosh}(0)=1, esse mínimo é também absoluto (valor mínimo global).
  • Não há máximos, pois \operatorname{cosh}(x)\to\infty quando x\to\pm\infty.
    Conclusões sobre extremos:
\text{Mínimo absoluto em }x=0\text{ com }f(0)=1.í
\text{Não existem máximos (nem locais nem absolutos).}ãá

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão.
  • Já calculamos f''(x)=\operatorname{cosh}(x).
  • Como \operatorname{cosh}(x)\ge1>0 para todo x, tem-se f''(x)>0 em todo \mathbb{R}.
  • Definição prática: se f''(x)>0 num intervalo, a curva é côncava para cima ali; se f''(x)<0, côncava para baixo.
    Conclusões:
f \text{ é côncava para cima em }(-\infty,\infty).éô
\text{Não há intervalo de concavidade para baixo e não existem pontos de inflexão.}ãáãã

Passo 9

Valores numéricos e pontos notáveis para esboço.
  • Ponto de mínimo: (0,\,f(0))=(0,\,1).
  • Alguns valores para referência (aproximações úteis em prova): f(1)=\operatorname{cosh}(1)=\frac{e+e^{-1}}{2}\approx\frac{2{,}7182818+0{,}3678794}{2}\approx1{,}5430806,
f(2)=\operatorname{cosh}(2)=\frac{e^{2}+e^{-2}}{2}\approx\frac{7{,}3890561+0{,}1353353}{2}\approx3{,}7621957.
  • Comportamento nas extremidades: f(x)\to\infty muito rapidamente quando |x| cresce (crescimento exponencial).
  • Simetria: por ser função par, basta desenhar para x\ge0 e espelhar para x\le0.
  • Concavidade: como é côncava para cima em todo x, a curva parece “taça” virada para cima com fundo em (0,1) e subindo cada vez mais rápido para as duas extremidades.
    Instruções para esboço:
  • Marcar o ponto (0,1).
  • Marcar pontos aproximados (1,\,1{,}543) e (2,\,3{,}762).
  • Desenhar ramo direito crescente, sempre curvando para cima, aproximando-se da forma da função \tfrac{1}{2}e^{x} para x\gg0; espelhar simetricamente para o lado esquerdo.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Raízes e paridade: não há raízes reais; f é par.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma (também não há assíntotas oblíquas lineares).
Crescimento/decrescimento: f é decrescente em \left(-\infty,0\right) e crescente em \left(0,\infty\right).
Extremos: mínimo absoluto em x=0 com f(0)=1. Não há máximos.
Concavidade e inflexão: f é côncava para cima em \left(-\infty,\infty\right); não há pontos de inflexão.
Pontos notáveis para o gráfico: (0,1) mínimo; (1,\operatorname{cosh}(1)\approx1{,}543); (2,\operatorname{cosh}(2)\approx3{,}762).

Exercícios relacionados