Considere a seguinte função:
possui assintotas horizontais? Se sim, quais são elas?
Passo 1
Enunciado: dada a função
, queremos determinar se existem assíntotas horizontais. O conteúdo envolve limites no infinito e comparação de graus de polinômios para entender o comportamento da função quando
.
Passo 2
Para
, calculamos
. Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (4), a função tende a zero. Formalmente:
[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x{2}-5x-9}{2x{4}+3x^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x{2}\Bigl(1-\tfrac{5}{x}-\tfrac{9}{x{2}}\Bigr)}{x{4}\Bigl(2+\tfrac{3}{x{2}}\Bigr)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\tfrac{5}{x}-\tfrac{9}{x{2}}}{x{2}\Bigl(2+\tfrac{3}{x^{2}}\Bigr)} = 0.
]
[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x{2}-5x-9}{2x{4}+3x^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x{2}\Bigl(1-\tfrac{5}{x}-\tfrac{9}{x{2}}\Bigr)}{x{4}\Bigl(2+\tfrac{3}{x{2}}\Bigr)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\tfrac{5}{x}-\tfrac{9}{x{2}}}{x{2}\Bigl(2+\tfrac{3}{x^{2}}\Bigr)} = 0.
]
Passo 3
Para
, o mesmo raciocínio vale: o termo dominante do numerador é
e do denominador é
, então
[
\lim_{x\to-\infty}\frac{x{2}-5x-9}{2x{4}+3x^{2}} = 0.
]
[
\lim_{x\to-\infty}\frac{x{2}-5x-9}{2x{4}+3x^{2}} = 0.
]
Passo 4
Como em ambas as direções (
e
) o limite de
é 0, concluímos que há uma assíntota horizontal única dada por
.
Resposta
Sim. A assíntota horizontal é y=0.