Considere a seguinte função:
f(x)=x^2-5 x-92 x^4+3 x^2
f possui assintotas horizontais? Se sim, quais são elas?

Passo 1

Enunciado: dada a função f(x)=x^2-5x-92x^4+3x^2, queremos determinar se existem assíntotas horizontais. O conteúdo envolve limites no infinito e comparação de graus de polinômios para entender o comportamento da função quando xtopminfty.

Passo 2

Para xto+infty, calculamos limxto+inftyf(x). Como o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (4), a função tende a zero. Formalmente:
[
\lim_{x\to+\infty}\frac{x{2}-5x-9}{2x{4}+3x^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x{2}\Bigl(1-\tfrac{5}{x}-\tfrac{9}{x{2}}\Bigr)}{x{4}\Bigl(2+\tfrac{3}{x{2}}\Bigr)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1-\tfrac{5}{x}-\tfrac{9}{x{2}}}{x{2}\Bigl(2+\tfrac{3}{x^{2}}\Bigr)} = 0.
]

Passo 3

Para xto-infty, o mesmo raciocínio vale: o termo dominante do numerador é x^2 e do denominador é x^4, então
[
\lim_{x\to-\infty}\frac{x{2}-5x-9}{2x{4}+3x^{2}} = 0.
]

Passo 4

Como em ambas as direções ( +infty e -infty) o limite de f(x) é 0, concluímos que há uma assíntota horizontal única dada por y=0.

Resposta

Sim. A assíntota horizontal é y=0.

Exercícios relacionados