Quais séries nos exercícios 39-44 converge vergem? Justifique as suas respostas.
41.
41.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, e vamos usar o teste da raiz para séries de termos positivos.
Passo 2
O teste da raiz diz que, para
, se definirmos
, então: se
a série converge absolutamente; se
diverge; e se
o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso, o termo geral é
. Vamos calcular
:
Passo 4
Precisamos agora do limite
Sabemos que potências de 2 crescem muito mais rápido que qualquer polinômio, logo
domina
e o quociente vai a zero.
Passo 5
Concluímos que
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente, e portanto converge.
Passo 6
Como o teste da raiz dá
, a série
converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da raiz n-ésima do termo geral é zero < 1).