Quais séries nos exercícios 39-44 converge vergem? Justifique as suas respostas.
41. sumn=1^infty n^n2^(n^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty n^n2^n^2. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, e vamos usar o teste da raiz para séries de termos positivos.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an >= 0, se definirmos L = limntoinfty raiz[n]an, então: se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral é an = n^n2^n^2. Vamos calcular raiz[n]an:
raiz[n]an = raiz[n]n^n2^n^2 = (n^n)^1/n(2^n^2)^1/n = n2^n

Passo 4

Precisamos agora do limite
L = limntoinfty n2^n
Sabemos que potências de 2 crescem muito mais rápido que qualquer polinômio, logo 2^n domina n e o quociente vai a zero.

Passo 5

Concluímos que
L = 0 < 1
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 6

Como o teste da raiz dá L<1, a série sumn=1^infty n^n2^n^2 converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da raiz n-ésima do termo geral é zero < 1).

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