Sabendo que sin (x+h)=sin x cos h+cos x sin h lim h 0 sin (h)h=1 e lim h 0 cos (h)-1h=0, calcule a derivada de f(x)=sin (x).

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada de f(x)=sin(x) usando a definição de derivada e limites trigonométricos. O conteúdo envolve derivação de funções trigonométricas e limites fundamentais: vamos usar f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h, a identidade de soma de seno e os limites limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

A definição de derivada de f em x é:
f'(x)=limhto0sin(x+h)-sin(x)h

Passo 3

Substituímos a identidade trigonométrica sin(x+h)=sin xcos h+cos xsin h na diferença do numerador:
sin(x+h)-sin(x)h =l(sin xcos h+cos xsin hr)-sin xh =sin x(cos h-1)h+cos xsin hh

Passo 4

Agora separamos o limite em duas parcelas e usamos propriedade da soma de limites:
f'(x)=limhto0sin x(cos h-1)h+limhto0cos xsin hh

Passo 5

Como sin x e cos x são constantes em relação a h, extraímos elas:
f'(x)=sin xunderbracelimhto0cos h-1h0+cos xunderbracelimhto0sin hh1

Resposta

f'(x)=cos(x)

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