Use o Teorema de Green para calcular
integralC(2 y+e^-x) d x+(2-x) d y
onde C: x=y^2-1, y in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC (2y+e^-x),dx + (2-x),dy usando o Teorema de Green. O conteúdo envolve transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região D limitada por C, que é o laço fechado formado pela parábola x=y^2-1 e a reta x=0 para yin[-1,1]. Vamos precisar de P(x,y)=2y+e^-x, Q(x,y)=2-x, das derivadas parciais partial Q/partial x e partial P/partial y, e do cálculo da área de D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA. Aqui
partial Qpartial x=partial (2-x)partial x=-1 e partial Ppartial y=partial (2y+e^-x)partial y=2, logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y = -1 -2 = -3

Passo 3

A região D é dada por
yin[-1,1], x varia de x=y^2-1 até x=0é

Passo 4

Portanto a integral fica
integral duplaD (-3),dA = integraly=-1^1 integralx=y^2-1^0 (-3),dx,dy

Passo 5

Calculemos em duas etapas: primeiro
integralx=y^2-1^0(-3),dx = -3l[0 - (y^2-1)r] = -3(1 - y^2)

Passo 6

Depois
integraly=-1^1 -3(1 - y^2),dy = -3 l(integral-1^11,dy - integral-1^1y^2,dyr) = -3l(2 - tfrac23r) = -3cdottfrac43 = -4

Resposta

-4

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