Considere a seguinte função f(x)=3 x-9. Determine a área da região limitada por f(x) no intervalo:
x=-2 e x=4.

Passo 1

A questão quer a área da região entre o gráfico da função linear f(x)=3x-9 e o eixo x, para x variando de -2 a 4. O conteúdo é cálculo de área sob curva usando integral definida e valor absoluto, pois parte de f(x) fica abaixo do eixo x.

Passo 2

Precisamos primeiro achar onde f(x) muda de sinal, pois isso indica divisão em subintervalos para aplicar o valor absoluto. Resolva f(x)=0:
3x-9=0 implies x=3
Então de -2 até 3 temos f(x)<0, e de 3 até 4 temos f(x)>0.

Passo 3

Para calcular a área usamos
Área = integral-2^4 |f(x)|,dx = integral-2^3 -(3x-9),dx + integral3^4 (3x-9),dx Á
Aqui introduzimos o valor absoluto: onde f(x)<0 invertemos o sinal.

Passo 4

Calcule a integral no primeiro pedaço (onde f(x)<0):
integral-2^3 -(3x-9),dx = -l[tfrac32x^2 -9xr]-2^3
Avalie os limites:
tfrac32(3)^2 -9(3) = 13,5 -27 = -13,5,
tfrac32(-2)^2 -9(-2) = 6 +18 =24
Então
-l(-13,5 -24r) = -(-37,5) =37,5

Passo 5

Calcule agora a integral no segundo pedaço (onde f(x)>0):
integral3^4 (3x-9),dx = l[tfrac32x^2 -9xr]3^4
Avalie:
tfrac32(4)^2 -9(4) =24 -36 = -12,
tfrac32(3)^2 -9(3) =13,5 -27 = -13,5
Então
(-12) - (-13,5) =1,5

Passo 6

Somando as duas áreas positivas obtidas temos
37,5 + 1,5 =39
Essa é a área total entre o gráfico de f(x) e o eixo x no intervalo dado.

Resposta

39

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