(a) (1,0 ponto) Explique por que a função
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a função f(x,y)=y/(x+y) é diferenciável no ponto (1,2). O conteúdo envolve diferenciação de funções de duas variáveis e uso do teorema do quociente de funções diferenciáveis.
Passo 2
Podemos escrever f como quociente de duas funções mais simples: seja u(x,y)=y e v(x,y)=x+y, de modo que f(x,y)=u(x,y)/v(x,y).
Passo 3
Como u e v são polinomiais em x e y, elas são diferenciáveis em todo ponto de ℝ². Em particular, existem as derivadas parciais ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x e ∂v/∂y no entorno de (1,2).
Passo 4
Verificamos que v(1,2)=1+2=3≠0. Pelo teorema do quociente, o quociente de duas funções diferenciáveis cujo denominador não se anula no ponto também é diferenciável ali. Portanto f é diferenciável em (1,2).
Resposta
Como f é quociente de funções polinomiais diferenciáveis e o denominador x+y não se anula em (1,2), pelo teorema do quociente f é diferenciável nesse ponto.