Considere a função
.
(a) (1,0 ponto) Calcule o limite
, caso não exista ou justifique, caso não exista.
(a) (1,0 ponto) Calcule o limite
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, definida de duas formas diferentes dependendo do ponto onde estamos. A tarefa é calcular o limite dessa função quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e analisar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos encontrar:
Passo 3
Uma maneira comum de calcular limites em funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos. Se todos os caminhos derem o mesmo resultado, é provável que o limite exista e seja esse valor.
Passo 4
Vamos tentar alguns caminhos simples:
Caminho 1: Ao longo do eixo $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na função:
Agora, calculando o limite quando $ x \to 0 $:
Caminho 2: Ao longo do eixo $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
Calculando o limite quando $ y \to 0 $:
Passo 5
Caminho 3: Ao longo da reta $ y = x $.
Substituindo $ y = x $ na função:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 6
Caminho 4: Usando coordenadas polares.
Em coordenadas polares, temos $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, onde $ r $ é a distância ao ponto
.
Substituindo na função:
Como $ \cos^4 \theta - \sin^4 \theta $ é finito, ao fazer $ r \to 0 $:
Passo 7
Como em todos os caminhos que testamos o limite da função $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
resultou em 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite
é igual a 0.