Considere a função f(x, y)=rx^4-y^4x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 1, se (x, y)=(0,0).
(a) (1,0 ponto) Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso não exista ou justifique, caso não exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, definida de duas formas diferentes dependendo do ponto onde estamos. A tarefa é calcular o limite dessa função quando f(x, y) se aproxima de (x, y). Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e analisar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y) = x^4 - y^4x^2 + y^2, & se (x, y) neq (0, 0) 1, & se (x, y) = (0, 0)
Queremos encontrar:
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y)

Passo 3

Uma maneira comum de calcular limites em funções de várias variáveis é verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos. Se todos os caminhos derem o mesmo resultado, é provável que o limite exista e seja esse valor.

Passo 4

Vamos tentar alguns caminhos simples:
Caminho 1: Ao longo do eixo $ y = 0 $.
Substituindo $ y = 0 $ na função:
y = 0
Agora, calculando o limite quando $ x \to 0 $:
y = 0
Caminho 2: Ao longo do eixo $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na função:
f(x, 0) = x^4 - 0x^2 + 0 = x^4x^2 = x^2
Calculando o limite quando $ y \to 0 $:
x to 0

Passo 5

Caminho 3: Ao longo da reta $ y = x $.
Substituindo $ y = x $ na função:
y = x
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 6

Caminho 4: Usando coordenadas polares.
Em coordenadas polares, temos $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, onde $ r $ é a distância ao ponto x = r cos theta .
Substituindo na função:
y = r sin theta
Como $ \cos^4 \theta - \sin^4 \theta $ é finito, ao fazer $ r \to 0 $:
r

Passo 7

Como em todos os caminhos que testamos o limite da função $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) resultou em 0, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) é igual a 0.

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