Determine se o limite da função
a seguir existe no ponto a dado; se for o caso, determine o seu valor.
.
Passo 1
Vamos resolver o limite da função
quando
se aproxima de 0. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Apanhador (ou Teorema do Squeeze), que nos ajuda a determinar limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções. Para resolver, precisamos entender como as funções envolvidas se comportam perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja, para todo
:
Isso é importante porque vai nos ajudar a “apertar” a função
entre duas funções mais fáceis de lidar.
Passo 3
Agora, multiplicamos todas as partes da desigualdade por
. Como
é sempre positivo quando
, a desigualdade se mantém na mesma ordem:
Assim,
está entre
e
.
Passo 4
Vamos analisar os limites das funções que estão nos lados da desigualdade quando
tende a 0. Sabemos que:
Portanto, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a 0.
Passo 5
Segundo o Teorema do Squeeze, se
está entre duas funções que tendem ao mesmo limite quando
se aproxima de um ponto, então
também tende a esse limite. Como vimos que
e
tendem a 0, o limite de
também deve ser 0.