Determine se o limite da função f a seguir existe no ponto a dado; se for o caso, determine o seu valor. f(x)=raizx sen(1x), a=0.

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando se aproxima de 0. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Apanhador (ou Teorema do Squeeze), que nos ajuda a determinar limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções. Para resolver, precisamos entender como as funções envolvidas se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja, para todo -1 <= sin(1x) <= 1 :
Isso é importante porque vai nos ajudar a “apertar” a função entre duas funções mais fáceis de lidar.

Passo 3

Agora, multiplicamos todas as partes da desigualdade por -raizx <= raizx cdot sin(1x) <= raizx . Como é sempre positivo quando , a desigualdade se mantém na mesma ordem:
Assim, está entre e .

Passo 4

Vamos analisar os limites das funções que estão nos lados da desigualdade quando limx to 0 -raizx = 0 e limx to 0 raizx = 0 tende a 0. Sabemos que:
Portanto, tanto o limite inferior quanto o limite superior são iguais a 0.

Passo 5

Segundo o Teorema do Squeeze, se está entre duas funções que tendem ao mesmo limite quando se aproxima de um ponto, então também tende a esse limite. Como vimos que e tendem a 0, o limite de também deve ser 0.

Resposta

limx to 0 raizx cdot sin(1x) = 0

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