Considere a seguinte função
f(x)= x^2-1 & se x >= 1 3 x-3 & se x<1
Determine se f é contínua em a=1.

Passo 1

Estamos com a função por partes
f(x)= x^2-1 & se x>=13x-3 & se x<1
E queremos saber se ela é contínua em a=1. Para isso, vamos precisar calcular f(1) e os limites laterais limxto1^-f(x) e limxto1^+f(x) e verificar se todos coincidem.

Passo 2

Primeiro, substituímos x=1 na definição de f(x) para o ramo x>=1. Como 1>=1, vale f(1)=1^2-1=0.
Agora, calculamos o limite pela direita usando o mesmo ramo x^2-1:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2-1)=1^2-1=0
Polinômios são funções contínuas, então é só substituir.
Em seguida, o limite pela esquerda usa o ramo 3x-3:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(3x-3)=3cdot1-3=0

Passo 3

Como f(1)=0, limxto1^+f(x)=0 e limxto1^-f(x)=0, todos são iguais. Portanto, a condição de continuidade limxto1f(x)=f(1) está satisfeita.

Resposta

A função é contínua em a=1.

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