Considere a seguinte função: f(x)=-x^{4}-2 x^{3}-8 x^{2}-5 x
Use métodos analíticos e gráficos para mostrar que a função tem um máximo para algum valor de x no intervalo -2 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-x^{4}-2x^{3}-8x^{2}-5x
e pede para mostrar — usando métodos analíticos e gráficos — que existe um valor de x no intervalo [-2,1] onde f atinge um máximo. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Domínio que nos interessa: o intervalo fechado [-2,1].
  • Queremos mostrar que existe um ponto x\in[-2,1] onde f tem máximo (isto é, um ponto onde f assume o maior valor nesse intervalo).
  • A função é polinomial (grau 4), logo diferenciável em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro vamos ver como determinar pontos candidatos a máximos usando cálculo: derivada e pontos críticos. Lembre que
  • um ponto crítico é um x onde f'(x)=0 (ou onde f' não existe, mas aqui f' existe em todo lugar);
  • se num ponto crítico f''(x)<0 então esse ponto é um máximo local (teste da segunda derivada);
  • para um intervalo fechado, o máximo global ocorre ou em um ponto crítico interior ou em um dos extremos do intervalo.
Calcule a derivada primeira de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(-x^{4}-2x^{3}-8x^{2}-5x\right)=-4x^{3}-6x^{2}-16x-5.
Vamos avaliar f' nos extremos do intervalo para ver comportamento da função:
f'(-2)=-4(-2)^{3}-6(-2)^{2}-16(-2)-5=32-24+32-5=35>0,
f'(1)=-4(1)^{3}-6(1)^{2}-16(1)-5=-4-6-16-5=-31<0.
Como f' é uma função polinomial (contínua), e f'(-2)>0 enquanto f'(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um ponto c\in(-2,1) tal que
f'\text{(c)}=0.
Esse c é um ponto crítico no interior do intervalo — candidato a máximo.

Passo 3

Agora classificamos esse ponto crítico usando a derivada segunda (teste da concavidade). Calcule a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}\left(-4x^{3}-6x^{2}-16x-5\right)=-12x^{2}-12x-16.
Observação importante: f'' é um polinômio quadrático. Vamos estudar seu sinal. O coeficiente de x^{2} é -12<0, então a parábola de f'' abre para baixo. Calcule o discriminante para saber se ela muda de sinal:
\Delta = (-12)^{2}-4(-12)(-16)=144-768=-624<0.
Como \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é negativo, a quadrática f''(x) é negativa para todo x\in\mathbb{R}. Logo
f''(x)<0\quad\text{para todo }x.
Isto significa que f é estritamente côncava para baixo em toda a reta. Consequência prática: qualquer ponto crítico é automaticamente um máximo local; além disso, em um intervalo fechado a função terá no máximo um ponto interior onde atinge seu máximo (porque uma função côncava para baixo pode ter no máximo um ponto de máximo interior).
Como já provamos que existe ao menos um ponto crítico c\in(-2,1) e que todo ponto crítico é máximo local (por f''\text{(c)}<0), concluímos analiticamente que f tem um máximo interior no intervalo [-2,1].

Passo 4

Para completar com o método gráfico/intuitivo e para localizar aproximadamente o ponto de máximo (útil na prova para comparar com valores nos extremos), vamos aproximar numericamente a raiz de f'(x)=0 dentro de (-2,1). Já vimos sinais opostos: f'(-0{,}4)>0 (pode-se calcular) e f'(-0{,}2)<0, logo a raiz está entre -0{,}4 e -0{,}2. Fazendo uma busca por bisseção/refinamento rápido (ou Newton), encontramos a raiz aproximada
c\approx -0{,}3473.
(Aqui eu fiz iterações simples avaliando f' em pontos médios; em prova você pode justificar com bisseção usando os sinais ou citar que uma calculadora/número aproximado é admissível se pedido.)
Agora calcule f\text{(c)} para obter o valor máximo aproximado:
Calculei as potências: c^{2}\approx 0{,}1206, c^{3}\approx -0{,}04197, c^{4}\approx 0{,}01461. Substituindo em f obtém-se
f\text{(c)}=-c^{4}-2c^{3}-8c^{2}-5c\approx 0{,}8409.
Para comparar com os extremos do intervalo, calcule f(-2) e f(1) (valores exatos simples):
f(-2)=-(-2)^{4}-2(-2)^{3}-8(-2)^{2}-5(-2)=-16+16-32+10=-22,
f(1)=-1-2-8-5=-16.
Como f\text{(c)}\approx 0{,}8409 é bem maior que f(-2)=-22 e f(1)=-16, o máximo absoluto de f no intervalo [-2,1] ocorre no interior, no ponto crítico c\approx -0{,}3473.
Geometricamente (gráfico): o polinômio de grau 4 com coeficiente líder negativo tem “casca para baixo” para grandes |x|; a côncavidade estritamente negativa em toda reta indica uma forma de “colina” única no trecho considerado. O sinal positivo de f'(-2) e negativo de f'(1) diz que a função sobe ao sair de -2, atinge o topo (onde f'=0) e depois desce até 1. Esse é o argumento gráfico-intuitivo complementando o analítico.

Passo 5

Síntese dos argumentos (resumo prático que vale na prova):
  • f' muda de sinal entre -2 e 1, logo existe ponto crítico interior;
  • f''(x)<0 para todo x, logo qualquer ponto crítico é máximo local e, no contexto do intervalo fechado, esse é também o máximo absoluto do intervalo;
  • avaliações numéricas mostram que esse máximo interior é maior que os valores nos extremos, confirmando que o máximo no intervalo é interior.

Resposta

\text{Máximo em }x\approx -0,3473á
\max f(x)\approx 0,8409

Exercícios relacionados