Considere a seguinte função:
Faça 10 iterações da interpolação quadrática para localizar o mínimo. Comente sobre a convergência dos seus resultados (
).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para fazer 10 iterações da interpolação quadrática (parabólica) para localizar o mínimo, começando com os pontos iniciais
Dados importantes extraídos do enunciado: os três pontos iniciais e a expressão de
. A tarefa é iterar a construção da parábola que interpola os três pontos e usar o vértice dessa parábola como novo ponto, repetindo 10 vezes; além disso devo comentar sobre a convergência dos resultados.
Passo 2
Vou explicar o método (passo a passo e de forma bem didática):
-
Ideia: dado três pontos
interpolamos por uma parábola que passa por eles e tomamos o vértice dessa parábola como uma estimativa do mínimo da função. Repetimos a operação substituindo um dos pontos originais pelo novo ponto obtido. -
Fórmula prática para o abscissa do vértice (fórmula bastante usada em interpolação quadrática): seja
os pontos e . Então o candidato (vértice da parábola que interpola) é dado por
Explico cada termo:
são as abscissas atuais;
são os valores da função nesses pontos. A expressão acima vem de escrever a parábola em forma de Lagrange e calcular a coordenada do vértice; não precisa decorar a derivação na prova, mas é essencial saber usar a fórmula e interpretar cada símbolo.
-
Regra de atualização que vou usar (escolha determinística e simples): depois de calcular
, substituo, entre os três pontos atuais , o ponto que tem o maior valor de (ou seja, o pior) por . Isso mantém sempre três pontos e é uma escolha simples de implementação. Existem variantes (manter o ponto com menor centrado, etc.), mas essa regra é fácil de executar à mão e ilustra bem o comportamento do método. -
Observação sobre arredondamento: farei cálculos com algumas casas decimais (arredondando na apresentação) para manter a conta legível; isso é comum em exercícios de prova sem calculadora. Sempre que eu usar um número vindo de um cálculo, mostro de onde veio.
Agora aplicamos 10 iterações seguindo essas regras. Em cada iteração mostro: os três pontos atuais, cálculo do
pela fórmula e
, qual ponto foi substituído e o novo conjunto de três pontos.
Passo 3
Pontos iniciais:
Aplicando a fórmula do vértice:
calculei os termos e obtive
calculei os termos e obtive
Avalio
nesse ponto:
Agora substituo o ponto com maior
entre
, que é
em
, por
. Novo conjunto:
Passo 4
Pontos atuais:
Aplicando a fórmula do vértice obtemos
Avalio
Entre os
atuais
o maior é
em
; substituo esse por
. Novo conjunto:
Passo 5
Pontos:
Cálculo do vértice dá
Avalio
O maior
entre os três é
em
; substituo por
. Novo conjunto:
Passo 6
Pontos:
Vértice calculado:
Avalio
O maior
entre os três originais era
em
; segundo a regra (substituir o maior), troco
por
. Novo conjunto:
Passo 7
Pontos:
Vértice:
Avalio
Maior
dos três é
em
, substituo esse por
. Novo conjunto:
Passo 8
Pontos:
Vértice:
Avalio
Maior
entre os três originais é
em
; substituo esse por
. Novo conjunto:
Passo 9
Pontos:
Vértice:
Avalio
Maior
entre os três originais é
em
; substituo esse por
. Novo conjunto:
Passo 10
Pontos:
Vértice:
Avalio
Maior
é
em
; substituo por
. Novo conjunto:
Passo 11
Pontos:
Vértice:
Avalio
Maior
entre os três originais é
em
; substituo esse por
. Novo conjunto:
Passo 12
Pontos:
Vértice:
Avalio
Maior
entre os três originais é
em
; substituo esse por
. Após 10 iterações o conjunto final é aproximadamente
Passo 13
- Observação teórica rápida: para a função dada
, podemos também achar analyticamente o mínimo resolvendo , o que dá e . Esse é o valor verdadeiro do mínimo. - Comparando com as 10 iterações acima, o método de interpolação quadrática aproximou o mínimo progressivamente: os valores de
foram-se aproximando de (veja que na iteração 10 obtivemos com ). A diferença para o mínimo exato é pequena já após 10 iterações. - Comportamento observado: o método tende a convergir razoavelmente rápido quando a função é suave e unimodal (como neste caso). Note que algumas iterações deram pontos que ficaram fora do intervalo “útil” (por exemplo
na iteração 4), mas a regra de atualizar o ponto com maior corrigiu isso nas iterações seguintes. Em prática de prova é comum usar uma variante que assegure que os três pontos sempre “enchem” um intervalo que contenha o mínimo; minha escolha (substituir sempre o pior) é simples e eficaz para mostrar convergência numérica. - Conclusão prática: após 10 iterações a interpolação quadrática já fornece uma ótima aproximação do mínimo real; se quiser mais precisão, basta continuar as iterações ou usar o valor analítico se permitido.