Use os seguintes métodos para achar o máximo de f(x)=4 x-1,8 x^{2}+1,2 x^{3}-0,3 x^{4}
(c) Método de Newton ( x_{0}=3, \varepsilon_{s}=1 \% ).

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Newton a partir de x_{0}=3 e com critério de parada \varepsilon_{s}=1\% para achar o máximo da função
f(x)=4x-1{,}8x^{2}+1{,}2x^{3}-0{,}3x^{4}.
Dados relevantes fornecidos:
x_{0}=3,\qquad \varepsilon_{s}=1\% .
A tarefa é encontrar o ponto x onde f atinge o máximo (e, se quiser, o valor máximo f(x)). A partir daqui aplicaremos o método de Newton para encontrar raízes da derivada f'(x), porque máximos internos ocorrem onde f'(x)=0.

Passo 2

Primeiro passo teórico-prático: calcular as derivadas necessárias. Vou explicar como derivar polinômios (relembre: a derivada de a x^{n} é a n x^{n-1}).
Derivando termo a termo:
f(x)=4x-1{,}8x^{2}+1{,}2x^{3}-0{,}3x^{4},
temos
f'(x)=\frac{d}{dx} (4x)-\frac{d}{dx}(1{,}8x^{2})+\frac{d}{dx}(1{,}2x^{3})-\frac{d}{dx}(0{,}3x^{4}).
Aplicando a regra \frac{d}{dx}(a x^{n}) = a n x^{n-1} obtemos
f'(x)=4-3{,}6x+3{,}6x^{2}-1{,}2x^{3}.
A segunda derivada (que será usada no denominador do passo de Newton) é
f''(x)=-3{,}6+7{,}2x-3{,}6x^{2}.

Passo 3

Explicando o método de Newton para este problema: queremos resolver f'(x)=0. O método de Newton para encontrar raízes de g(x) usa
x_{n+1}=x_{n}-\frac{g(x_{n})}{g'(x_{n})}.
Aqui tomamos g(x)=f'(x), então g'(x)=f''(x) e a fórmula fica
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f'(x_{n})}{f''(x_{n})}.
Critério de parada pedido: erro relativo aproximado menor que \varepsilon_{s}=1\%. Vou usar o erro aproximado relativo
\varepsilon_{a}=\left|\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}}\right|\times 100\%.
Paro quando \varepsilon_{a}\le 1\%. Também verificarei o sinal de f'' no ponto crítico obtido para confirmar que é máximo (se f''<0, é máximo).
Agora vamos iterar mostrando todas as contas passo a passo.

Passo 4

Iteração 0 (inicial): x_{0}=3.
Calcular f'(3) e f''(3).
f'(3)=4-3{,}6\cdot 3+3{,}6\cdot 3^{2}-1{,}2\cdot 3^{3}.
Fazendo conta:
3{,}6\cdot 3=10{,}8,\quad 3^{2}=9\Rightarrow 3{,}6\cdot 9=32{,}4,\quad 3^{3}=27\Rightarrow 1{,}2\cdot 27=32{,}4.
Logo
f'(3)=4-10{,}8+32{,}4-32{,}4=4-10{,}8=-6{,}8.
Agora f''(3):
f''(3)=-3{,}6+7{,}2\cdot 3-3{,}6\cdot 3^{2}=-3{,}6+21{,}6-32{,}4=-14{,}4.
Aplicando Newton:
x_{1}=3-\frac{f'(3)}{f''(3)}=3-\frac{-6{,}8}{-14{,}4}=3-\frac{6{,}8}{14{,}4}.
Calcule \dfrac{6{,}8}{14{,}4}=0{,}472222\ldots, então
x_{1}=3-0{,}472222\ldots=2{,}527777\ldots
Erro aproximado:
\varepsilon_{a}=\left|\frac{2{,}527777\ldots-3}{2{,}527777\ldots}\right|\times100\%\approx 18{,}68\%>1\% .
Ainda não paramos.

Passo 5

Iteração 1: x_{1}=2{,}527777\ldots (é conveniente notar que x_{1}=\dfrac{91}{36}, que facilita algumas contas exatas; vou manter decimais para clareza).
Calcular f'(x_{1}) e f''(x_{1}).
Usando valores exatos quando possível:
-3{,}6x_{1}=-9{,}1\quad\text{(exato)},
3{,}6x_{1}^{2}= \frac{8281}{360}\approx 23{,}002777\ldots,
-1{,}2x_{1}^{3}=-\frac{753571}{38880}\approx -19{,}381613\ldots
Somando,
f'(x_{1})=4-9{,}1+23{,}002777\ldots-19{,}381613\ldots\approx -1{,}479222\ldots
(um cálculo racional exato dá f'(x_{1})=-\dfrac{57511}{38880}\approx -1{,}479222).
Agora
f''(x_{1})=-3{,}6+7{,}2x_{1}-3{,}6x_{1}^{2}.
Observe que 7{,}2x_{1}= \dfrac{91}{5}=18{,}2 (exato) e 3{,}6x_{1}^{2}=\dfrac{8281}{360} como acima. Portanto
f''(x_{1})= -3{,}6+18{,}2-23{,}002777\ldots \approx -8{,}402777\ldots
(= -\dfrac{3025}{360} em forma racional).
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f'(x_{1})}{f''(x_{1})} =2{,}527777\ldots -\frac{-1{,}479222\ldots}{-8{,}402777\ldots}.
Calculando a razão dá aproximadamente 0{,}176070\ldots, então
x_{2}\approx 2{,}527777\ldots-0{,}176070\ldots=2{,}351707\ldots
Erro aproximado:
\varepsilon_{a}=\left|\frac{2{,}351707\ldots-2{,}527777\ldots}{2{,}351707\ldots}\right|\times100\%\approx 7{,}49\%>1\%.
Ainda não paramos.

Passo 6

Iteração 2: x_{2}\approx 2{,}35170778.
Calcular f'(x_{2}) e f''(x_{2}) numericamente (mostro as contas por etapas para você poder reproduzir na prova sem calculadora, aproximando passos):
  1. x_{2}^{2}\approx 5{,}53052049.
  2. x_{2}^{3}\approx 13{,}0061686.
Agora
f'(x_{2})=4-3{,}6x_{2}+3{,}6x_{2}^{2}-1{,}2x_{2}^{3}
\approx 4-8{,}4661460+19{,}9098738-15{,}6074023\approx -0{,}1636745.
E
f''(x_{2})=-3{,}6+7{,}2x_{2}-3{,}6x_{2}^{2} \approx -3{,}6+16{,}9332960-19{,}9098738\approx -6{,}5765778.
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f'(x_{2})}{f''(x_{2})} \approx 2{,}35170778-\frac{-0{,}1636745}{-6{,}5765778}.
A razão vale aproximadamente 0{,}0248888, logo
x_{3}\approx 2{,}35170778-0{,}0248888=2{,}3268189.
Erro aproximado:
\varepsilon_{a}=\left|\frac{2{,}3268189-2{,}35170778}{2{,}3268189}\right|\times100\%\approx 1{,}07\% .
Ainda ligeiramente acima de 1\%, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 7

Iteração 3: x_{3}\approx 2{,}3268189.
Calcule x_{3}^{2} e x_{3}^{3} (aprox.):
x_{3}^{2}\approx 5{,}4140884,\qquad x_{3}^{3}\approx 12{,}597633.
Agora
f'(x_{3})=4-3{,}6x_{3}+3{,}6x_{3}^{2}-1{,}2x_{3}^{3} \approx 4-8{,}3765480+19{,}4907182-15{,}1171596\approx -0{,}0029898.
E
f''(x_{3})=-3{,}6+7{,}2x_{3}-3{,}6x_{3}^{2} \approx -3{,}6+16{,}7530968-19{,}4907182\approx -6{,}3376214.
Aplicando Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f'(x_{3})}{f''(x_{3})} \approx 2{,}3268189-\frac{-0{,}0029898}{-6{,}3376214}.
A razão vale aproximadamente 0{,}0004716, então
x_{4}\approx 2{,}3268189-0{,}0004716=2{,}3263473.
Erro aproximado:
\varepsilon_{a}=\left|\frac{2{,}3263473-2{,}3268189}{2{,}3263473}\right|\times100\%\approx 0{,}0203\%,
que é menor que 1\%. Portanto paramos aqui: convergimos com o critério pedido.

Passo 8

Conclusão numérica e verificação de máximo:
Ponto crítico encontrado (aproximado):
x^{*}\approx 2{,}3263473.
Verificação do tipo de extremo: f''(x^{*}) nas últimas iterações ficou aproximadamente -6{,}34, ou seja f''(x^{*})<0. Isso indica que f tem um máximo local (e neste polinômio cúbico/quártico com comportamento adequado, é o máximo global relevante usado aqui).
Cálculo do valor máximo aproximado (opcional, mas útil na prova):
Usando x^{*}\approx 2{,}3263473,
f(x^{*})\approx 4x^{*}-1{,}8(x^{*})^{2}+1{,}2(x^{*})^{3}-0{,}3(x^{*})^{4}\approx 5{,}88680\\ (\text{aprox.}).
Agora eu posto somente a resposta final pedida.

Resposta

x_{\text{máx}}\approx 2{,}3263473á
f(x_{\text{máx}})\approx 5{,}88680á

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