Use os seguintes métodos para achar o máximo de f(x)=4 x-1,8 x^{2}+1,2 x^{3}-0,3 x^{4}
(c) Método de Newton ( x_{0}=3, \varepsilon_{s}=1 \% ).
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton a partir de x_{0}=3 e com critério de parada \varepsilon_{s}=1\% para achar o máximo da função
f(x)=4x-1{,}8x^{2}+1{,}2x^{3}-0{,}3x^{4}.
Dados relevantes fornecidos:
x_{0}=3,\qquad \varepsilon_{s}=1\% .
A tarefa é encontrar o ponto x onde f atinge o máximo (e, se quiser, o valor máximo f(x)). A partir daqui aplicaremos o método de Newton para encontrar raízes da derivada f'(x), porque máximos internos ocorrem onde f'(x)=0.
Passo 2
Primeiro passo teórico-prático: calcular as derivadas necessárias. Vou explicar como derivar polinômios (relembre: a derivada de a x^{n} é a n x^{n-1}).
Iteração 1: x_{1}=2{,}527777\ldots (é conveniente notar que x_{1}=\dfrac{91}{36}, que facilita algumas contas exatas; vou manter decimais para clareza).
que é menor que 1\%. Portanto paramos aqui: convergimos com o critério pedido.
Passo 8
Conclusão numérica e verificação de máximo:
Ponto crítico encontrado (aproximado):
x^{*}\approx 2{,}3263473.
Verificação do tipo de extremo: f''(x^{*}) nas últimas iterações ficou aproximadamente -6{,}34, ou seja f''(x^{*})<0. Isso indica que f tem um máximo local (e neste polinômio cúbico/quártico com comportamento adequado, é o máximo global relevante usado aqui).
Cálculo do valor máximo aproximado (opcional, mas útil na prova):
Usando x^{*}\approx 2{,}3263473,