Determine o mínimo da função do Problema 11 com os seguintes métodos:
(a) Método de Newton ( x_{0}=1, \varepsilon_{s}=1 \% ).
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o mínimo da função do Problema 11 com os seguintes métodos: (a) Método de Newton ( x_{0}=1,\; \varepsilon_{s}=1\% ).”
Informações explícitas que o enunciado fornece:
Ponto inicial: x_{0}=1.
Critério de parada desejado: \varepsilon_{s}=1\%.
Informação faltante (essencial): a definição explícita da função (a “função do Problema 11”) — isto não foi enviada. Sem conhecer a expressão de f(x) não é possível calcular f'(x), f''(x) nem executar as iterações numéricas do método de Newton para encontrar o mínimo da função pedida. Portanto, não é possível obter o resultado numérico do Problema 11 enquanto a função não for fornecida.
Passo 2
O que é e por que o Método de Newton funciona (explicação didática):
Objetivo: encontrar um ponto x^\star que minimize uma função unidimensional f(x). Em mínimos interiores não-constritos, um candidato satisfaz f'(x^\star)=0 e costuma ter f''(x^\star)>0.
Ideia do método: aproximar f por sua série de Taylor de segunda ordem em torno do ponto atual x_k:
Regra de parada: parar quando \varepsilon_a\le \varepsilon_s (ou quando |f'(x_k)| for suficientemente pequeno, alternativa). No enunciado foi dado \varepsilon_s=1\%, então usamos \varepsilon_a\le 1\%.
Além disso, verificar se f''(x_{k+1})>0 para confirmar que o ponto é mínimo (e não máximo ou ponto de sela).
Passo 4
Passo-a-passo prático que você deve executar na prova (sem calculadora quando possível):
Calcule simbolicamente f'(x) e f''(x) usando regras de derivação (potência, constante, soma, produto, cadeia). Por exemplo, se f(x)=ax^n então f'(x)=anx^{n-1} e f''(x)=an(n-1)x^{n-2}.
Avalie f'(x_0) e f''(x_0) no ponto inicial x_0=1.
Use a atualização
x_{1}=x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}.
Calcule \varepsilon_a=\left|\dfrac{x_{1}-x_0}{x_{1}}\right|\times 100\%. Se \varepsilon_a\le 1\%, pare; caso contrário, repita: calcule f'(x_1), f''(x_1), obtenha x_2, calcule \varepsilon_a entre x_2 e x_1, etc.
Ao finalizar, verifique f''(x_{\text{final}})>0 para garantir mínimo local.
Dica de cálculo manual: mantenha frações exatas (razões) sempre que possível para evitar aproximações intermediárias desnecessárias; só arredonde no final ou quando realmente necessário.
Passo 5
Exemplo ilustrativo (para você copiar os passos na prova): aplicar Newton ao caso simples
f(x)=x^{2}-4x+5,
com x_0=1 e \varepsilon_s=1\%, para ver como proceder na prática:
pare. Verificação: f''(2)=2>0, portanto x=2 é mínimo local. Neste exemplo o método convergiu em duas iterações e o mínimo é x=2. Use este tipo de procedimento na prova para qualquer função que aparecer no Problema 11.
Passo 6
Se eu tivesse a expressão de f(x) do Problema 11 eu aplicaria exatamente o roteiro do Passo 4: calcular f', f'', iterar com x_{k+1}=x_k-f'(x_k)/f''(x_k) iniciando em x_0=1, verificar \varepsilon_a\le1\% e checar f''>0. Como a função não foi fornecida, não posso executar as iterações numéricas específicas nem dar o valor do mínimo pedido.
Resposta
Não é possível determinar o mínimo porque a função do Problema 11 não foi fornecida.