Determine o mínimo da função do Problema 11 com os seguintes métodos:
(a) Método de Newton ( x_{0}=1, \varepsilon_{s}=1 \% ).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o mínimo da função do Problema 11 com os seguintes métodos: (a) Método de Newton ( x_{0}=1,\; \varepsilon_{s}=1\% ).”
Informações explícitas que o enunciado fornece:
  • Ponto inicial: x_{0}=1.
  • Critério de parada desejado: \varepsilon_{s}=1\%.
Informação faltante (essencial): a definição explícita da função (a “função do Problema 11”) — isto não foi enviada. Sem conhecer a expressão de f(x) não é possível calcular f'(x), f''(x) nem executar as iterações numéricas do método de Newton para encontrar o mínimo da função pedida. Portanto, não é possível obter o resultado numérico do Problema 11 enquanto a função não for fornecida.

Passo 2

O que é e por que o Método de Newton funciona (explicação didática):
  • Objetivo: encontrar um ponto x^\star que minimize uma função unidimensional f(x). Em mínimos interiores não-constritos, um candidato satisfaz f'(x^\star)=0 e costuma ter f''(x^\star)>0.
  • Ideia do método: aproximar f por sua série de Taylor de segunda ordem em torno do ponto atual x_k:
f(x)\approx f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)+\tfrac{1}{2}f''(x_k)(x-x_k)^2.
Aproximando o mínimo desta quadrática, obtemos a fórmula de atualização do Newton:
x_{k+1}=x_k-\frac{f'(x_k)}{f''(x_k)}.
  • Significado dos termos:
    • x_k: aproximação atual do minimizador.
    • f'(x_k): derivada primeira em x_k (declive da função).
    • f''(x_k): derivada segunda em x_k (curvatura da função). Para convergir a um mínimo local, precisamos idealmente de f''(x_k)>0 próximo da solução.
  • Observações práticas:
    • Se f''(x_k)=0 a fórmula divide por zero — há um problema.
    • Se f''(x_k)<0 o passo pode levar a um ponto que se aproxima de um máximo (não desejado).
    • O método geralmente converge rápido (quadraticamente) quando estamos perto do mínimo e a função é bem comportada.

Passo 3

Critério de parada e como medir erro (explicação detalhada para a prova):
  • Critério dado: \varepsilon_{s}=1\%. Uma forma comum de usar isso é controlar o erro percentual aproximado entre iterações:
\varepsilon_a=\left|\frac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}\right|\times 100\%.
  • Regra de parada: parar quando \varepsilon_a\le \varepsilon_s (ou quando |f'(x_k)| for suficientemente pequeno, alternativa). No enunciado foi dado \varepsilon_s=1\%, então usamos \varepsilon_a\le 1\%.
  • Além disso, verificar se f''(x_{k+1})>0 para confirmar que o ponto é mínimo (e não máximo ou ponto de sela).

Passo 4

Passo-a-passo prático que você deve executar na prova (sem calculadora quando possível):
  1. Calcule simbolicamente f'(x) e f''(x) usando regras de derivação (potência, constante, soma, produto, cadeia). Por exemplo, se f(x)=ax^n então f'(x)=anx^{n-1} e f''(x)=an(n-1)x^{n-2}.
  2. Avalie f'(x_0) e f''(x_0) no ponto inicial x_0=1.
  3. Use a atualização
x_{1}=x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}.
  1. Calcule \varepsilon_a=\left|\dfrac{x_{1}-x_0}{x_{1}}\right|\times 100\%. Se \varepsilon_a\le 1\%, pare; caso contrário, repita: calcule f'(x_1), f''(x_1), obtenha x_2, calcule \varepsilon_a entre x_2 e x_1, etc.
  2. Ao finalizar, verifique f''(x_{\text{final}})>0 para garantir mínimo local.
    Dica de cálculo manual: mantenha frações exatas (razões) sempre que possível para evitar aproximações intermediárias desnecessárias; só arredonde no final ou quando realmente necessário.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (para você copiar os passos na prova): aplicar Newton ao caso simples
f(x)=x^{2}-4x+5,
com x_0=1 e \varepsilon_s=1\%, para ver como proceder na prática:
  • Calcule as derivadas:
f'(x)=2x-4,\qquad f''(x)=2.
  • Avalie em x_0=1:
f'(1)=2\cdot1-4=-2,\qquad f''(1)=2.
  • Atualização:
x_1=1-\frac{-2}{2}=1+1=2.
  • Erro percentual aproximado:
\varepsilon_a=\left|\frac{2-1}{2}\right|\times100\%=50\%>1\%,
então ainda não parar. Próxima iteração:
f'(2)=2\cdot2-4=0,\qquad f''(2)=2,
x_2=2-\frac{0}{2}=2.
Agora
\varepsilon_a=\left|\frac{2-2}{2}\right|\times100\%=0\%\le1\%,
pare. Verificação: f''(2)=2>0, portanto x=2 é mínimo local. Neste exemplo o método convergiu em duas iterações e o mínimo é x=2. Use este tipo de procedimento na prova para qualquer função que aparecer no Problema 11.

Passo 6

Se eu tivesse a expressão de f(x) do Problema 11 eu aplicaria exatamente o roteiro do Passo 4: calcular f', f'', iterar com x_{k+1}=x_k-f'(x_k)/f''(x_k) iniciando em x_0=1, verificar \varepsilon_a\le1\% e checar f''>0. Como a função não foi fornecida, não posso executar as iterações numéricas específicas nem dar o valor do mínimo pedido.

Resposta

Não é possível determinar o mínimo porque a função do Problema 11 não foi fornecida.

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