Considere a seguinte função
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2
Determine a taxa de variação de f no ponto P(3,6,-2) na direção do vetor v=(1,2,2)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 e pede a taxa de variação de f no ponto P(3,6,-2) na direção do vetor v=(1,2,2). Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente de f e um vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f, que reúne todas as derivadas parciais e indica a direção de maior crescimento. Temos a definição
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)=gl(xraizx^2+y^2+z^2,yraizx^2+y^2+z^2,zraizx^2+y^2+z^2gr)
Em P(3,6,-2), o valor do gradiente é
nabla f(3,6,-2)=l(37,67,-27r)

Passo 3

Para obter o vetor unitário na direção de v, dividimos v pelo seu módulo. Calculamos o módulo de v:
|v|=raiz1^2+2^2+2^2=3
Logo o vetor unitário é
u=13(1,2,2)=l(13,23,23r)

Passo 4

A derivada direcional de f em P ao longo de u é o produto escalar nabla f(3,6,-2)cdot u. Então fazemos
Du f(3,6,-2)=37cdot13+67cdot23-27cdot23=1121

Resposta

dfrac1121

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