Seja phi: R R uma função de uma variável real, diferenciável e tal que phi^prime(2)=3. Sendo g(x, y)=phi(xy), determine partial gpartial x(4,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial partial gpartial x(4,2) de g(x,y)=phil(tfracxyr). O conteúdo envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, e sabemos que phi'(2)=3.

Passo 2

Definimos a variável intermediária u=tfracxy, de modo que g(x,y)=phi(u). Aplicando a regra da cadeia para derivada parcial em relação a x com y constante, temos
partial gpartial x=phi'(u)cdotpartial upartial x

Passo 3

Como u=tfracxy e y é constante, calculamos
partial upartial x=1y

Passo 4

Substituindo de volta, obtém-se
$$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\phi’\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\cdot\frac{1}{y}.
$$Em partial gpartial x(x,y)=phi'l(tfracxyr)cdot1y temos (4,2) e tfrac42=2, logo
y=2

Resposta

tfrac32

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