Use transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace, equações diferenciais e como lidar com funções que mudam de valor em diferentes intervalos de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
com as condições iniciais:
E a função $ f(t) $ é definida por:
Passo 3
A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. A gente vai aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace $ \mathcal{L} $ na equação diferencial:
Sabemos que:
E para $ f(t) $, que é uma função escalonada que começa em $ t = 2 $, usamos a propriedade do deslocamento:
Passo 5
Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:
Passo 6
Vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Passo 7
Fatorando o denominador $ s^2 + 3s + 2 $:
Então, a expressão para $ Y(s) $ fica:
Passo 8
Vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Primeiro, para o termo sem o deslocamento:
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 1)(s + 2) $:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Para $ s = -2 $:
Para $ s = -1 $:
Então:
Passo 9
Agora, para o segundo termo com $ e^{-2s} $:
Fazemos a decomposição:
Multiplicando por $ s(s + 1)(s + 2) $:
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $:
Para $ s = 0 $:
Para $ s = -1 $:
Para $ s = -2 $:
Então:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão de $ Y(s) $:
Passo 11
Para encontrar $ y(t) $, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
e
onde $ u(t - 2) $ é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso:
Passo 12
Simplificando a expressão final:
Resposta
A solução da equação diferencial é