Use transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1
em que
f(t)= 0, & para 0 <= t<2 1, & para t >= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. O objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Laplace, equações diferenciais e como lidar com funções que mudam de valor em diferentes intervalos de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
y'' + 3y' + 2y = f(t)
com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 1
E a função $ f(t) $ é definida por:
f(t)

Passo 3

A transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. A gente vai aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace $ \mathcal{L} $ na equação diferencial:
L
Sabemos que:
Ly'' + 3Ly' + 2Ly = Lf(t)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
E para $ f(t) $, que é uma função escalonada que começa em $ t = 2 $, usamos a propriedade do deslocamento:
Ly = Y(s)

Passo 5

Substituindo as transformadas na equação:
(s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1) + 3(s Y(s) - 0) + 2Y(s) = e^-2ss
Simplificando:
s^2 Y(s) - 1 + 3s Y(s) + 2Y(s) = e^-2ss

Passo 6

Vamos agrupar os termos com $ Y(s) $:
Y(s)
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)(s^2 + 3s + 2) - 1 = e^-2ss

Passo 7

Fatorando o denominador $ s^2 + 3s + 2 $:
s^2 + 3s + 2
Então, a expressão para $ Y(s) $ fica:
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)

Passo 8

Vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace. Primeiro, para o termo sem o deslocamento:
1(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 1)(s + 2) $:
(s + 1)(s + 2)
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Para $ s = -2 $:
1 = A(s + 2) + B(s + 1)
Para $ s = -1 $:
A
Então:
B

Passo 9

Agora, para o segundo termo com $ e^{-2s} $:
e^-2s
Fazemos a decomposição:
e^-2ss(s + 1)(s + 2) = e^-2s cdot 1s(s + 1)(s + 2)
Multiplicando por $ s(s + 1)(s + 2) $:
1s(s + 1)(s + 2) = As + Bs + 1 + Cs + 2
Resolvendo para $ A $, $ B $ e $ C $:
Para $ s = 0 $:
s(s + 1)(s + 2)
Para $ s = -1 $:
1 = A(s + 1)(s + 2) + B s (s + 2) + C s (s + 1)
Para $ s = -2 $:
A
Então:
B

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão de $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 11

Para encontrar $ y(t) $, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
y(t)
e
L^-1 1s + a = e^-a t
onde $ u(t - 2) $ é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso:
L^-1 e^-2s F(s) = f(t - 2) u(t - 2)

Passo 12

Simplificando a expressão final:
y(t) = e^-t - e^-2t + 12 u(t - 2) - u(t - 2) e^-(t - 2) + 12 u(t - 2) e^-2(t - 2)

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = e^-t - e^-2t + 12 u(t - 2) - u(t - 2) e^-(t - 2) + 12 u(t - 2) e^-2(t - 2)

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