Considere à superfície S: 2 x y z=3. Determine o(s) ponto(s) de S tal que o plano tangente é paralelo ao plano pi: 6 x+3 y+z-3=0. Determine a Equação do piano tangente e da reta normal nesse ponto.

Passo 1

Temos a superfície S dada implicitamente por F(x,y,z)=2xyz-3=0. O plano tangente em um ponto P0 tem normal dado por nabla F(P0). Queremos os pontos onde esse plano tangente é paralelo ao plano π: 6x+3y+z-3=0, cujo vetor normal é (6,3,1).

Passo 2

Calculamos o gradiente de F: nabla F(x,y,z)=(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial z)=(2yz,,2xz,,2xy). A condição de paralelismo entre os planos exige que exista um escalar lambda tal que
2yz=6lambda, 2xz=3lambda, 2xy=lambda
Além disso, o ponto deve pertencer à superfície, ou seja,
2xyz=3

Passo 3

Como não podemos ter x=0 nem y=0 (pois implicaria 2xyz=0neq3), dividimos as equações. Da terceira obtém-se lambda=2xy. Substituindo nas duas primeiras:
z-6x=0implies z=6x, z-3y=0implies z=3y

Passo 4

Igualando as duas expressões de z: 6x=3y daí y=2x. Substituindo em 2xyz=3:
2cdot xcdot(2x)cdot(6x)=3implies 24x^3=3implies x^3=tfrac18implies x=tfrac12,

Passo 5

logo y=2x=1 e z=6x=3. O ponto procurado é P=(tfrac12,1,3).
No ponto P, o gradiente é nabla F(P)=(2cdot1cdot3,,2cdottfrac12cdot3,,2cdottfrac12cdot1)=(6,3,1). A equação do plano tangente em P fica
6(x-tfrac12)+3(y-1)+(z-3)=0,

Passo 6

que pode ser escrita também como 6x+3y+z-9=0.
A reta normal ao plano tangente em P tem direção dada por (6,3,1) e passa por (tfrac12,1,3). Sua forma paramétrica é
x=tfrac12+6t, y=1+3t, z=3+t

Resposta

Ponto: (tfrac12,1,3). Plano tangente: 6(x-tfrac12)+3(y-1)+(z-3)=0 (ou 6x+3y+z-9=0). Reta normal: x=tfrac12+6t, y=1+3t, z=3+t.

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