Considere à superfície
. Determine o(s) ponto(s) de
tal que o plano tangente é paralelo ao plano
. Determine a Equação do piano tangente e da reta normal nesse ponto.
Passo 1
Temos a superfície S dada implicitamente por
. O plano tangente em um ponto
tem normal dado por
. Queremos os pontos onde esse plano tangente é paralelo ao plano π:
, cujo vetor normal é
.
Passo 2
Calculamos o gradiente de F:
. A condição de paralelismo entre os planos exige que exista um escalar
tal que
Além disso, o ponto deve pertencer à superfície, ou seja,
Passo 3
Como não podemos ter
nem
(pois implicaria
), dividimos as equações. Da terceira obtém-se
. Substituindo nas duas primeiras:
Passo 4
Igualando as duas expressões de z:
daí
. Substituindo em
:
Passo 5
logo
e
. O ponto procurado é
.
No ponto , o gradiente é
. A equação do plano tangente em
fica
No ponto
Passo 6
que pode ser escrita também como
.
A reta normal ao plano tangente em tem direção dada por
e passa por
. Sua forma paramétrica é
A reta normal ao plano tangente em
Resposta
Ponto:
. Plano tangente:
(ou
). Reta normal:
.