Uma fio de cobre com seção circular de raio R conduz uma corrente I distribuida uniformemente pela seção do fio. Encontre a expressão literal do campo magnetico em função do raio.
Para os mesmos valores R=10,0 mm e I=2,00 A, encontre o valor do campo magnético para r2=20,0 mm e marque a resposta no gabarito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de cobre com uma seção circular de raio $ R $ por onde passa uma corrente $ I $ distribuída de forma uniforme. O objetivo é encontrar a expressão do campo magnético $ B $ em função do raio $ r $. Depois, com $ R = 10,0 $ mm e $ I = 2,00 $ A, precisamos calcular o valor de $ B $ para $ r_2 = 20,0 $ mm e marcar no gabarito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica, usamos a Lei de Ampère. Essa lei relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por ele. A fórmula da Lei de Ampère é:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde:
  • $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $).
  • $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho fechado.

Passo 3

Vamos considerar dois casos para o raio $ r $:
  1. Dentro do fio ($ r < R $):
    A corrente está distribuída uniformemente, então a corrente que passa dentro de um raio $ r $ é proporcional à área desse círculo comparada com a área total do fio.
  2. Fora do fio ($ r \geq R $):
    Todo o fio está dentro do caminho fechado, então a corrente total $ I $ está incluindo.

Passo 4

Caso 1: Dentro do fio ($ r < R $)
A corrente $ I_{enc} $ que passa dentro do raio $ r $ é dada por:
r < R
Agora, aplicamos a Lei de Ampère:
Ienc
Resolvendo para $ B $:
r
Caso 2: Fora do fio ($ r \geq R $)
Aqui, toda a corrente $ I $ está dentro do caminho fechado. Aplicando a Lei de Ampère:
Ienc = I ( pi r^2pi R^2 ) = I ( r^2R^2 )
Resolvendo para $ B $:
B cdot 2pi r = mu0 I ( r^2R^2 )

Passo 5

Agora, temos a expressão geral do campo magnético:
B(r) = mu0 I r2pi R^2 & para r < R mu0 I2pi r & para r >= R

Passo 6

Vamos calcular o campo magnético para $ r_2 = 20,0 $ mm, que é maior que $ R = 10,0 $ mm. Portanto, usamos a segunda expressão:
r2 = 20,0
Substituindo os valores:
R = 10,0
B = mu0 I2pi r

Resposta

O campo magnético para $ r_2 = 20,0 $ mm é $ B = 2,00 \times 10^{-5} , T $.

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