Uma fio de cobre com seção circular de raio
conduz uma corrente
distribuida uniformemente pela seção do fio. Encontre a expressão literal do campo magnetico em função do raio.
Para os mesmos valores
e
, encontre o valor do campo magnético para
e marque a resposta no gabarito.
Para os mesmos valores
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de cobre com uma seção circular de raio $ R $ por onde passa uma corrente $ I $ distribuída de forma uniforme. O objetivo é encontrar a expressão do campo magnético $ B $ em função do raio $ r $. Depois, com $ R = 10,0 $ mm e $ I = 2,00 $ A, precisamos calcular o valor de $ B $ para $ r_2 = 20,0 $ mm e marcar no gabarito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o campo magnético gerado por uma corrente elétrica, usamos a Lei de Ampère. Essa lei relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por ele. A fórmula da Lei de Ampère é:
Onde:
- $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $).
- $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho fechado.
Passo 3
Vamos considerar dois casos para o raio $ r $:
-
Dentro do fio ($ r < R $):
A corrente está distribuída uniformemente, então a corrente que passa dentro de um raio $ r $ é proporcional à área desse círculo comparada com a área total do fio. -
Fora do fio ($ r \geq R $):
Todo o fio está dentro do caminho fechado, então a corrente total $ I $ está incluindo.
Passo 4
Caso 1: Dentro do fio ($ r < R $)
A corrente $ I_{enc} $ que passa dentro do raio $ r $ é dada por:
Agora, aplicamos a Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Caso 2: Fora do fio ($ r \geq R $)
Aqui, toda a corrente $ I $ está dentro do caminho fechado. Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para $ B $:
Passo 5
Agora, temos a expressão geral do campo magnético:
Passo 6
Vamos calcular o campo magnético para $ r_2 = 20,0 $ mm, que é maior que $ R = 10,0 $ mm. Portanto, usamos a segunda expressão:
Substituindo os valores:
Resposta
O campo magnético para $ r_2 = 20,0 $ mm é $ B = 2,00 \times 10^{-5} , T $.