Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede, sucessivamente:
- o domínio de
; - (opcional) as raízes de
e se é par ou ímpar (ou nenhuma das opções); - assíntotas verticais (ou justificativa de não existência);
- assíntotas horizontais (ou justificativa de não existência);
- intervalos de crescimento e decrescimento;
- pontos/valores de máximo ou mínimo (e se são absolutos ou relativos);
- intervalos de concavidade, pontos de inflexão;
- um esboço do gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada explicitamente em termos de exponenciais.
- Não há restrição explícita no enunciado sobre o domínio além da definição da fórmula.
A partir daqui vou analisar cada item passo a passo, explicando as ferramentas usadas (como testar paridade, calcular derivadas, interpretar limites, etc.) de forma bem prática para você poder aplicar na prova.
Passo 2
Domínio de
.
Mini-aula rápida sobre domínio:
- O domínio de uma função dada por uma expressão é o conjunto de
para os quais a expressão está bem definida (sem dividir por zero, sem radicais de índice par de números negativos, etc.). - Aqui temos apenas exponenciais
e , que estão definidas para todo .
Cálculo:
- Para qualquer
, e existem e são finitos. - Portanto o numerador
e a divisão por são sempre bem definidos.
Conclusão do passo:
Passo 3
Raízes de
e paridade (se é par, ímpar ou nenhuma).
Mini-aula sobre raízes e paridade:
- Uma raiz é um
tal que . - Paridade:
é par se para todo ; é ímpar se para todo . Testa-se substituindo por .
Encontrando raízes:
Resolver :
Resolver
Multiplicando por
:
Colocando tudo com
: multiplica-se por
(sempre positivo) para facilitar:
Como
se e somente se
, temos
Logo a única raiz é
e o ponto correspondente é
.
Testando paridade:
Calcule :
Calcule
Como
para todo
, a função é ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais: definição e análise.
Mini-aula sobre assíntotas verticais:
- Uma reta vertical
é assíntota vertical se pelo menos um dos limites laterais for (ou função não definida em e explode para infinito). - Assíntotas verticais aparecem tipicamente quando há divisão por zero ou logaritmo que fica singular, etc.
Aplicação:
- Nossa função está definida para todo
(Passo 2). Não há pontos onde a função deixe de existir nem divisão por algo que zere. - Além disso, para cada
, e são finitos quando .
Conclusão:
- Não existem assíntotas verticais para
.
Passo 5
Assíntotas horizontais (e observação sobre assíntotas inclinadas).
Mini-aula sobre assíntotas horizontais:
- Uma reta horizontal
é assíntota horizontal à direita se e à esquerda se . - Se os limites em
são finitos e iguais a , então é assíntota horizontal.
Cálculo dos limites:
- Para
: domina (pois ), então
Logo
.
- Para
: domina (pois ), então
Logo
.
Interpretação:
- Ambos os limites são infinitos (não finitos), portanto não há assíntotas horizontais.
Observação sobre assíntotas inclinadas (retas oblíquas):
- Uma assíntota inclinada
existiria se para algum . Como cresce exponencialmente em módulo, qualquer tentativa de ajustar uma reta falha; por exemplo . Portanto não há assíntotas oblíquas.
Conclusão:
- Não há assíntotas horizontais nem oblíquas para
.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento — cálculo da derivada e interpretação.
Mini-aula sobre derivada e monotonia:
- Se
num intervalo, é crescente ali. Se , é decrescente. Se em pontos isolados, podem ocorrer extremos (máximo ou mínimo) dependendo da mudança de sinal.
Cálculo da derivada:
- Derivada de
é ; derivada de é (pela regra da cadeia). Assim,
- Esta função é conhecida como
, a função cosseno hiperbólico:
Sinal de
:
- Para todo
, e , então . - Em particular
e .
Conclusão sobre monotonia:
- Como
para todo , a função é estritamente crescente em todo o domínio. - Não existem intervalos de decrescimento.
Passo 7
Máximos e mínimos (relativos e absolutos).
Raciocínio:
- Em um intervalo aberto (o domínio é
sem extremos), se a função é estritamente crescente em todo o domínio, não existem pontos onde a derivada mude de positiva para negativa ou vice-versa, então não há extremos locais. - Também não há máximo absoluto, porque
. Não há mínimo absoluto porque .
Conclusão:
- Não existem valores do domínio onde
atinge máximo ou mínimo, nem relativos nem absolutos.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão — cálculo da segunda derivada.
Mini-aula sobre concavidade:
- A concavidade é verificada pelo sinal de
: se em um intervalo, o gráfico é côncavo para cima ali; se , é côncavo para baixo. Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de sinal (e normalmente aí).
Cálculo da segunda derivada:
- Já temos
. Derivando de novo:
Observação: repare que
— uma identidade prática.
Sinal de
:
- Para
, (pois já vimos que cresce e é positiva para ). - Para
, . - Em
, .
Como o sinal de
muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) em
, há um ponto de inflexão em
.
Conclusões:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em . - Há um ponto de inflexão em
.
Passo 9
Pontos notáveis, tangente em
e comportamento geral — preparação do esboço.
Pontos e informações reunidas:
- Domínio:
. - Raiz:
. - Paridade: função ímpar (simetria ímpar => simetria central na origem).
- Monotonia: estritamente crescente em
. - Extremas: nenhum máximo ou mínimo local/absoluto.
- Concavidade: côncava para baixo em
e côncava para cima em ; inflexão em . - Assíntotas: nenhuma vertical, nenhuma horizontal, nenhuma oblíqua.
- Tangente em
: a inclinação é , logo a reta tangente em é .
Sugestão prática para esboçar (o que desenhar na prova):
- Marque o ponto
. - Trace a reta tangente
em torno da origem para ver a direção inicial. - À direita de
: o gráfico sobe e fica cada vez mais íngreme (comportamento exponencial), é côncavo para cima. - À esquerda de
: o gráfico desce (pois é ímpar) e fica cada vez mais íngreme em módulo para baixo, sendo côncavo para baixo. - Use a simetria ímpar: o ramo à esquerda é a rotação de
do ramo à direita em torno da origem. - Não desenhe assíntotas; apenas mostre que a função tende a
nas extremidades.
Exemplos numéricos (para marcar pontos adicionais se quiser):
(usar valores aproximados ajuda a posicionar os pontos no esboço).
Passo 10
Resumo final das características que devem aparecer no esboço:
- Ponto
(raiz e inflexão). - Tangente em
: reta . - Crescente em todo
. - Côncavo para baixo em
; côncavo para cima em . - Sem assíntotas, crescimento exponencial para
e decrescimento sem limite inferior para . - Simetria ímpar (gráfico simétrico pela origem).
Resposta
Domínio:
Raízes e paridade: única raiz
(ponto
); a função é ímpar.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Intervalos de crescimento/decrescimento: crescente em
; não há intervalos de decrescimento.
Máximos/minimos: não existem máximos nem mínimos, nem relativos nem absolutos.
Concavidade e inflexões: côncava para baixo em
, côncava para cima em
; ponto de inflexão em
.
Esboço (pontos notáveis): passa por
(inflexão), tangente em
com equação
; crescimento exponencial para
e para
tende a
; é ímpar (simetria central na origem).