Considere a seguinte função: \operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
e pede, sucessivamente:
  • o domínio de f;
  • (opcional) as raízes de f e se f é par ou ímpar (ou nenhuma das opções);
  • assíntotas verticais (ou justificativa de não existência);
  • assíntotas horizontais (ou justificativa de não existência);
  • intervalos de crescimento e decrescimento;
  • pontos/valores de máximo ou mínimo (e se são absolutos ou relativos);
  • intervalos de concavidade, pontos de inflexão;
  • um esboço do gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada explicitamente em termos de exponenciais.
  • Não há restrição explícita no enunciado sobre o domínio além da definição da fórmula.
A partir daqui vou analisar cada item passo a passo, explicando as ferramentas usadas (como testar paridade, calcular derivadas, interpretar limites, etc.) de forma bem prática para você poder aplicar na prova.

Passo 2

Domínio de f.
Mini-aula rápida sobre domínio:
  • O domínio de uma função dada por uma expressão é o conjunto de x para os quais a expressão está bem definida (sem dividir por zero, sem radicais de índice par de números negativos, etc.).
  • Aqui temos apenas exponenciais e^{x} e e^{-x}, que estão definidas para todo x\in\mathbb{R}.
Cálculo:
  • Para qualquer x\in\mathbb{R}, e^{x} e e^{-x} existem e são finitos.
  • Portanto o numerador e^{x}-e^{-x} e a divisão por 2 são sempre bem definidos.
Conclusão do passo:
\text{Domínio de } \operatorname{senh} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Raízes de f e paridade (se é par, ímpar ou nenhuma).
Mini-aula sobre raízes e paridade:
  • Uma raiz é um x tal que f(x)=0.
  • Paridade: f é par se f(-x)=f(x) para todo x; é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x. Testa-se substituindo x por -x.
Encontrando raízes:
Resolver \operatorname{senh}(x)=0:
\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=0
Multiplicando por 2:
e^{x}-e^{-x}=0.
Colocando tudo com e^{x}: multiplica-se por e^{x} (sempre positivo) para facilitar:
e^{2x}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}=1.
Como e^{2x}=1 se e somente se 2x=0, temos
x=0.
Logo a única raiz é x=0 e o ponto correspondente é (0,0).
Testando paridade:
Calcule \operatorname{senh}(-x):
\operatorname{senh}(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=-\operatorname{senh}(x).
Como \operatorname{senh}(-x)=-\operatorname{senh}(x) para todo x, a função é ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais: definição e análise.
Mini-aula sobre assíntotas verticais:
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical se pelo menos um dos limites laterais \lim_{x\to a^\pm} f(x) for \pm\infty (ou função não definida em a e explode para infinito).
  • Assíntotas verticais aparecem tipicamente quando há divisão por zero ou logaritmo que fica singular, etc.
Aplicação:
  • Nossa função está definida para todo x\in\mathbb{R} (Passo 2). Não há pontos onde a função deixe de existir nem divisão por algo que zere.
  • Além disso, para cada a\in\mathbb{R}, e^{x} e e^{-x} são finitos quando x\to a.
Conclusão:
  • Não existem assíntotas verticais para \operatorname{senh}.

Passo 5

Assíntotas horizontais (e observação sobre assíntotas inclinadas).
Mini-aula sobre assíntotas horizontais:
  • Uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal à direita se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L e à esquerda se \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
  • Se os limites em \pm\infty são finitos e iguais a L, então y=L é assíntota horizontal.
Cálculo dos limites:
  • Para x\to+\infty: e^{x} domina e^{-x} (pois e^{-x}\to0), então
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\sim\frac{e^{x}}{2}\to +\infty.
Logo \lim_{x\to+\infty}\operatorname{senh}(x)=+\infty.
  • Para x\to-\infty: e^{-x} domina e^{x} (pois e^{x}\to0), então
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\sim -\frac{e^{-x}}{2}\to -\infty.
Logo \lim_{x\to-\infty}\operatorname{senh}(x)=-\infty.
Interpretação:
  • Ambos os limites são infinitos (não finitos), portanto não há assíntotas horizontais.
Observação sobre assíntotas inclinadas (retas oblíquas):
  • Uma assíntota inclinada y=mx+b existiria se \lim_{x\to\pm\infty} (f(x)- (mx+b))=0 para algum m,b. Como f(x) cresce exponencialmente em módulo, qualquer tentativa de ajustar uma reta falha; por exemplo \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty. Portanto não há assíntotas oblíquas.
Conclusão:
  • Não há assíntotas horizontais nem oblíquas para \operatorname{senh}.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento — cálculo da derivada e interpretação.
Mini-aula sobre derivada e monotonia:
  • Se f'(x)>0 num intervalo, f é crescente ali. Se f'(x)<0, f é decrescente. Se f'(x)=0 em pontos isolados, podem ocorrer extremos (máximo ou mínimo) dependendo da mudança de sinal.
Cálculo da derivada:
  • Derivada de e^{x} é e^{x}; derivada de e^{-x} é -e^{-x} (pela regra da cadeia). Assim,
\operatorname{senh}'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
  • Esta função é conhecida como \operatorname{cosh}(x), a função cosseno hiperbólico:
\operatorname{senh}'(x)=\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Sinal de \operatorname{cosh}(x):
  • Para todo x, e^{x}>0 e e^{-x}>0, então \operatorname{cosh}(x)>0.
  • Em particular \operatorname{cosh}(x)\ge 1 e \operatorname{cosh}(0)=1.
Conclusão sobre monotonia:
  • Como \operatorname{senh}'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}, a função é estritamente crescente em todo o domínio.
  • Não existem intervalos de decrescimento.

Passo 7

Máximos e mínimos (relativos e absolutos).
Raciocínio:
  • Em um intervalo aberto (o domínio é \mathbb{R} sem extremos), se a função é estritamente crescente em todo o domínio, não existem pontos onde a derivada mude de positiva para negativa ou vice-versa, então não há extremos locais.
  • Também não há máximo absoluto, porque \lim_{x\to+\infty}\operatorname{senh}(x)=+\infty. Não há mínimo absoluto porque \lim_{x\to-\infty}\operatorname{senh}(x)=-\infty.
Conclusão:
  • Não existem valores do domínio onde f atinge máximo ou mínimo, nem relativos nem absolutos.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão — cálculo da segunda derivada.
Mini-aula sobre concavidade:
  • A concavidade é verificada pelo sinal de f''(x): se f''(x)>0 em um intervalo, o gráfico é côncavo para cima ali; se f''(x)<0, é côncavo para baixo. Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de sinal (e normalmente f''=0 aí).
Cálculo da segunda derivada:
  • Já temos \operatorname{senh}'(x)=\operatorname{cosh}(x). Derivando de novo:
\operatorname{senh}''(x)=\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Observação: repare que \operatorname{senh}''(x)=\operatorname{senh}(x) — uma identidade prática.
Sinal de \operatorname{senh}''(x):
  • Para x>0, \operatorname{senh}''(x)=\operatorname{senh}(x)>0 (pois já vimos que \operatorname{senh}(x) cresce e é positiva para x>0).
  • Para x<0, \operatorname{senh}''(x)=\operatorname{senh}(x)<0.
  • Em x=0, \operatorname{senh}''(0)=0.
Como o sinal de f'' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) em x=0, há um ponto de inflexão em x=0.
Conclusões:
  • f é côncava para baixo em (-\infty,0).
  • f é côncava para cima em (0,+\infty).
  • Há um ponto de inflexão em (0,0).

Passo 9

Pontos notáveis, tangente em 0 e comportamento geral — preparação do esboço.
Pontos e informações reunidas:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Raiz: (0,0).
  • Paridade: função ímpar (simetria ímpar => simetria central na origem).
  • Monotonia: estritamente crescente em (-\infty,\infty).
  • Extremas: nenhum máximo ou mínimo local/absoluto.
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,0) e côncava para cima em (0,\infty); inflexão em (0,0).
  • Assíntotas: nenhuma vertical, nenhuma horizontal, nenhuma oblíqua.
  • Tangente em x=0: a inclinação é f'(0)=\operatorname{cosh}(0)=1, logo a reta tangente em (0,0) é y=x.
Sugestão prática para esboçar (o que desenhar na prova):
  1. Marque o ponto (0,0).
  2. Trace a reta tangente y=x em torno da origem para ver a direção inicial.
  3. À direita de 0: o gráfico sobe e fica cada vez mais íngreme (comportamento exponencial), é côncavo para cima.
  4. À esquerda de 0: o gráfico desce (pois é ímpar) e fica cada vez mais íngreme em módulo para baixo, sendo côncavo para baixo.
  5. Use a simetria ímpar: o ramo à esquerda é a rotação de 180^\circ do ramo à direita em torno da origem.
  6. Não desenhe assíntotas; apenas mostre que a função tende a \pm\infty nas extremidades.
Exemplos numéricos (para marcar pontos adicionais se quiser):
\operatorname{senh}(1)=\frac{e- e^{-1}}{2}\approx 1{,}175\dots,\qquad \operatorname{senh}(-1)=-\operatorname{senh}(1)\approx -1{,}175\dots
(usar valores aproximados ajuda a posicionar os pontos no esboço).

Passo 10

Resumo final das características que devem aparecer no esboço:
  • Ponto (0,0) (raiz e inflexão).
  • Tangente em 0: reta y=x.
  • Crescente em todo \mathbb{R}.
  • Côncavo para baixo em (-\infty,0); côncavo para cima em (0,\infty).
  • Sem assíntotas, crescimento exponencial para +\infty e decrescimento sem limite inferior para -\infty.
  • Simetria ímpar (gráfico simétrico pela origem).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Raízes e paridade: única raiz x=0 (ponto (0,0)); a função é ímpar.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Intervalos de crescimento/decrescimento: crescente em (-\infty,\infty); não há intervalos de decrescimento.
Máximos/minimos: não existem máximos nem mínimos, nem relativos nem absolutos.
Concavidade e inflexões: côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\infty); ponto de inflexão em (0,0).
Esboço (pontos notáveis): passa por (0,0) (inflexão), tangente em 0 com equação y=x; crescimento exponencial para x\to+\infty e para x\to-\infty tende a -\infty; é ímpar (simetria central na origem).

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