Considere a seguinte função: \operatorname{coth}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função \operatorname{coth}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} e pede, sucessivamente:
  • determinar o domínio de f;
  • (opcional) determinar as raízes de f (se houver) e dizer se f é par, ímpar ou nenhuma das opções;
  • obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência);
  • obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência);
  • encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
  • determinar pontos de máximo ou mínimo (se houver) e se são relativos ou absolutos;
  • determinar intervalos de concavidade (côncavo para cima / para baixo) e pontos de inflexão (se houver);
  • com todas as informações, esboçar o gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
As informações dadas são apenas a expressão da função \operatorname{coth}(x). Não há outras figuras ou tabelas.

Passo 2

Primeiro vamos escrever \operatorname{coth} em formas alternativas que ajudam nos cálculos de limite e derivadas. Usando as definições hiperbólicas
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
temos
\operatorname{coth}(x)=\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}.
Outra forma útil (multiplicando numerador e denominador por e^{x}) é
\operatorname{coth}(x)=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}.
Essas fórmulas vão facilitar limites (com e^{2x}) e derivadas (com \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}).

Passo 3

Determinar o domínio: a função é razão; o problema ocorre quando o denominador vale zero. O denominador original e^{x}-e^{-x} é, até constante, 2\operatorname{sinh} x. Portanto devemos excluir pontos onde \operatorname{sinh} x=0. Resolvendo
\operatorname{sinh} x=0 \iff \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=0 \iff e^{2x}=1 \iff x=0.
Não há outros zeros de \operatorname{sinh} em \mathbb{R}. Conclusão:
  • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Raízes e paridade.
  • Raízes: para \operatorname{coth}(x)=0 seria preciso \operatorname{cosh} x=0 (pois \operatorname{coth}=\operatorname{cosh}/\operatorname{sinh} e \operatorname{sinh}\neq0 no domínio). Mas \operatorname{cosh} x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\ge 1 para todo x\in\mathbb{R}, nunca é zero. Logo não há raízes reais.
  • Paridade: calcule \operatorname{coth}(-x). Usando \operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh} x e \operatorname{sinh}(-x)=-\operatorname{sinh} x,
\operatorname{coth}(-x)=\frac{\operatorname{cosh}(-x)}{\operatorname{sinh}(-x)}=\frac{\operatorname{cosh} x}{-\operatorname{sinh} x}=-\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}=-\operatorname{coth}(x).
Então \operatorname{coth} é uma função ímpar.
Resumo: sem raízes; f é ímpar.

Passo 5

Assíntotas verticais. Assíntota vertical ocorre onde a função tende a \pm\infty quando x se aproxima do ponto, normalmente onde função não está definida.
O único ponto fora do domínio é x=0. Vamos calcular os limites laterais em 0. Para x pequeno, pode usar aproximações de série: \operatorname{sinh} x\sim x e \operatorname{cosh} x\sim 1, logo \operatorname{coth} x\sim 1/x. Assim
\lim_{x\to 0^+}\operatorname{coth} x=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-}\operatorname{coth} x=-\infty.
Também é possível ver isso usando \operatorname{coth}(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}: ao aproximar x\to0^+, e^{2x}-1 é pequeno e positivo; o quociente diverge para +\infty; para x\to0^{-} o denominador fica pequeno e negativo, dando -\infty.
Portanto existe uma assíntota vertical:
  • Equação da assíntota vertical: x=0.

Passo 6

Assíntotas horizontais. Calculamos limites nas extremidades do domínio \pm\infty.
Usando \operatorname{coth}(x)=\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}:
  • Para x\to+\infty, e^{2x}\to+\infty. Então
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{coth}(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{1+0}{1-0}=1.
  • Para x\to-\infty, usar simetria ímpar ou substituir x\mapsto -x: como \operatorname{coth} é ímpar, \lim_{x\to-\infty}\operatorname{coth}(x)=-\lim_{t\to+\infty}\operatorname{coth}(t)=-1. Ou calcular diretamente com e^{2x}\to 0:
\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1.
Logo há duas assíntotas horizontais:
  • y=1 para x\to+\infty;
  • y=-1 para x\to-\infty.

Passo 7

Crescimento / decrescimento — derivada primeira.
Vamos derivar \operatorname{coth}(x)=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}. Usando a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}. Aqui u=\operatorname{cosh} x com u'=\operatorname{sinh} x, e v=\operatorname{sinh} x com v'=\operatorname{cosh} x. Assim
\operatorname{coth}'(x)=\frac{\operatorname{sinh} x\cdot\operatorname{sinh} x-\operatorname{cosh} x\cdot\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^2 x} =\frac{\operatorname{sinh}^2 x-\operatorname{cosh}^2 x}{\operatorname{sinh}^2 x}.
Usando a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2 x-\operatorname{sinh}^2 x=1, temos \operatorname{sinh}^2 x-\operatorname{cosh}^2 x=-1. Portanto
\operatorname{coth}'(x)=-\frac{1}{\operatorname{sinh}^2 x}.
Observações importantes:
  • Para todo x no domínio \operatorname{sinh}^2 x>0, então \operatorname{coth}'(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • A derivada nunca é zero no domínio (é sempre negativa e finita).
Consequência: f é estritamente decrescente em cada intervalo de domínio.
  • Intervalos de decrescimento: (-\infty,0) e (0,\infty).
  • Não há intervalos de crescimento.
Sobre máximos e mínimos: como a derivada não zera em nenhum ponto do domínio, não há pontos críticos internos para máximos ou mínimos relativos. Também não há máximos ou mínimos absolutos alcançados (a função tende a +\infty ao aproximar 0^+ e tende a 1 quando x\to+\infty sem alcançar 1; comportamento simétrico para o lado negativo). Logo:
  • Não há máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão — derivada segunda.
Partimos de \operatorname{coth}'(x)=-\operatorname{sinh}^{-2}x. Diferenciando:
\operatorname{coth}''(x)=-\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sinh}^{-2}x\big) =-\big(-2\big)\operatorname{sinh}^{-3}x\cdot\operatorname{cosh} x =\frac{2\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^3 x}.
Podemos reescrever, se quisermos, \operatorname{coth}''(x)=2\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^3 x}, mas o que interessa é o sinal:
  • \operatorname{cosh} x>0 para todo x.
  • O sinal de \operatorname{sinh}^3 x é o mesmo de \operatorname{sinh} x: é negativo para x<0 e positivo para x>0.
Portanto:
  • Para x>0: \operatorname{coth}''(x)>0 ⇒ gráfico côncavo para cima em (0,\infty).
  • Para x<0: \operatorname{coth}''(x)<0 ⇒ gráfico côncavo para baixo em (-\infty,0).
Mudança de concavidade ocorre ao atravessar x=0, mas x=0 não pertence ao domínio; um ponto de inflexão exige que a função esteja definida e contínua nesse ponto. Como f não está definida em x=0, não existe ponto de inflexão válido no domínio. Assim:
  • Côncavo para baixo: (-\infty,0).
  • Côncavo para cima: (0,\infty).
  • Não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 9

Pontos notáveis e esboço do gráfico (descrição e alguns pontos numéricos para ajudar no traço).
Pontos/aspectos já obtidos:
  • Domínio: x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Assíntotas: vertical x=0; horizontais y=1 (direita) e y=-1 (esquerda).
  • Comportamento em 0: \lim_{x\to0^+}\operatorname{coth}(x)=+\infty e \lim_{x\to0^-}\operatorname{coth}(x)=-\infty.
  • Comportamento em infinidade: \lim_{x\to+\infty}\operatorname{coth}(x)=1 e \lim_{x\to-\infty}\operatorname{coth}(x)=-1.
  • Monotonia: estritamente decrescente em cada ramo (-\infty,0) e (0,\infty).
  • Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,0) e côncavo para cima em (0,\infty).
  • Sem raízes e função ímpar, então pontos espelhados em torno da origem têm sinais opostos.
Alguns valores numéricos úteis (para marcar no esboço):
  • \operatorname{coth}(1)=\dfrac{e+e^{-1}}{e-e^{-1}}\approx 1,313. Então ponto notável \big(1,\operatorname{coth}(1)\approx 1,313\big).
  • Por simetria ímpar, \operatorname{coth}(-1)\approx -1,313, então ponto \big(-1,-1,313\big).
Como esboçar (passo a passo mental):
  • Desenhar a linha vertical x=0 (assíntota).
  • No ramo x>0: curva vindo de +\infty ao passar por perto de 0^+, decresce estritamente, côncava para cima, aproximando-se horizontalmente para y=1 quando x\to+\infty. Marcar (1,1,313).
  • No ramo x<0: por oddness, traçar a imagem espelhada: entra por -\infty ao aproximar 0^-, decresce (isto é, numericamente mais negativo→menos negativo quando x diminui? lembre: decresce significa que os valores diminuem quando x aumenta; no ramo negativo isso se interpreta corretamente pela derivada negativa), côncavo para baixo, aproximando-se de y=-1 quando x\to-\infty. Marcar (-1,-1,313).
  • Indicar as retas horizontais y=1 e y=-1 como assíntotas.
Isso dá o esboço clássico de \operatorname{coth}: dois ramos, vertical no zero, horizontais nos \pm1, simetria ímpar.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}
Raízes e paridade: sem raízes; f é ímpar ( \operatorname{coth}(-x)=-\operatorname{coth}(x))
Assíntotas verticais: x=0 ( \lim_{x\to0^+}\operatorname{coth}x=+\infty,\\ \lim_{x\to0^-}\operatorname{coth}x=-\infty)
Assíntotas horizontais: y=1 (quando x\to+\infty) e y=-1 (quando x\to-\infty)
Crescimento/Decrescimento: não há crescimento; decresce em (-\infty,0) e em (0,\infty) (pois \operatorname{coth}'(x)=-1/\operatorname{sinh}^2 x<0)
Máximos/Mínimos: não há máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para baixo em (-\infty,0) e côncavo para cima em (0,\infty); não há pontos de inflexão no domínio (mudança de concavidade ocorre em x=0, que não pertence ao domínio)
Esboço / pontos notáveis: assíntotas x=0, y=1, y=-1; exemplo de pontos (1,\operatorname{coth}(1)\approx 1,313) e (-1,\operatorname{coth}(-1)\approx -1,313); ramo direito: decrescente, côncavo para cima, vai de +\infty em 0^+ para se aproximar de y=1; ramo esquerdo: simétrico ímpar (vai de -\infty em 0^- e aproxima-se de y=-1 quando x\to-\infty).

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