Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, sucessivamente:
- determinar o domínio de
; - (opcional) determinar as raízes de
(se houver) e dizer se é par, ímpar ou nenhuma das opções; - obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência);
- obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência);
- encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
; - determinar pontos de máximo ou mínimo (se houver) e se são relativos ou absolutos;
- determinar intervalos de concavidade (côncavo para cima / para baixo) e pontos de inflexão (se houver);
- com todas as informações, esboçar o gráfico indicando as coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
As informações dadas são apenas a expressão da função
. Não há outras figuras ou tabelas.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em formas alternativas que ajudam nos cálculos de limite e derivadas. Usando as definições hiperbólicas
temos
Outra forma útil (multiplicando numerador e denominador por
) é
Essas fórmulas vão facilitar limites (com
) e derivadas (com
e
).
Passo 3
Determinar o domínio: a função é razão; o problema ocorre quando o denominador vale zero. O denominador original
é, até constante,
. Portanto devemos excluir pontos onde
. Resolvendo
Não há outros zeros de
em
. Conclusão:
- Domínio:
.
Passo 4
Raízes e paridade.
- Raízes: para
seria preciso (pois e no domínio). Mas para todo , nunca é zero. Logo não há raízes reais. - Paridade: calcule
. Usando e ,
Então
é uma função ímpar.
Resumo: sem raízes;
é ímpar.
Passo 5
Assíntotas verticais. Assíntota vertical ocorre onde a função tende a
quando
se aproxima do ponto, normalmente onde função não está definida.
O único ponto fora do domínio é
. Vamos calcular os limites laterais em
. Para
pequeno, pode usar aproximações de série:
e
, logo
. Assim
Também é possível ver isso usando
: ao aproximar
,
é pequeno e positivo; o quociente diverge para
; para
o denominador fica pequeno e negativo, dando
.
Portanto existe uma assíntota vertical:
- Equação da assíntota vertical:
.
Passo 6
Assíntotas horizontais. Calculamos limites nas extremidades do domínio
.
Usando
:
- Para
, . Então
- Para
, usar simetria ímpar ou substituir : como é ímpar, . Ou calcular diretamente com :
Logo há duas assíntotas horizontais:
-
para ; -
para .
Passo 7
Crescimento / decrescimento — derivada primeira.
Vamos derivar
. Usando a regra do quociente: se
então
. Aqui
com
, e
com
. Assim
Usando a identidade hiperbólica
, temos
. Portanto
Observações importantes:
- Para todo
no domínio , então para todo . - A derivada nunca é zero no domínio (é sempre negativa e finita).
Consequência:
é estritamente decrescente em cada intervalo de domínio.
- Intervalos de decrescimento:
e . - Não há intervalos de crescimento.
Sobre máximos e mínimos: como a derivada não zera em nenhum ponto do domínio, não há pontos críticos internos para máximos ou mínimos relativos. Também não há máximos ou mínimos absolutos alcançados (a função tende a
ao aproximar
e tende a
quando
sem alcançar
; comportamento simétrico para o lado negativo). Logo:
- Não há máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão — derivada segunda.
Partimos de
. Diferenciando:
Podemos reescrever, se quisermos,
, mas o que interessa é o sinal:
-
para todo . - O sinal de
é o mesmo de : é negativo para e positivo para .
Portanto:
- Para
: ⇒ gráfico côncavo para cima em . - Para
: ⇒ gráfico côncavo para baixo em .
Mudança de concavidade ocorre ao atravessar
, mas
não pertence ao domínio; um ponto de inflexão exige que a função esteja definida e contínua nesse ponto. Como
não está definida em
, não existe ponto de inflexão válido no domínio. Assim:
- Côncavo para baixo:
. - Côncavo para cima:
. - Não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 9
Pontos notáveis e esboço do gráfico (descrição e alguns pontos numéricos para ajudar no traço).
Pontos/aspectos já obtidos:
- Domínio:
. - Assíntotas: vertical
; horizontais (direita) e (esquerda). - Comportamento em
: e . - Comportamento em infinidade:
e . - Monotonia: estritamente decrescente em cada ramo
e . - Concavidade: côncavo para baixo em
e côncavo para cima em . - Sem raízes e função ímpar, então pontos espelhados em torno da origem têm sinais opostos.
Alguns valores numéricos úteis (para marcar no esboço):
-
. Então ponto notável . - Por simetria ímpar,
, então ponto .
Como esboçar (passo a passo mental):
- Desenhar a linha vertical
(assíntota). - No ramo
: curva vindo de ao passar por perto de , decresce estritamente, côncava para cima, aproximando-se horizontalmente para quando . Marcar . - No ramo
: por oddness, traçar a imagem espelhada: entra por ao aproximar , decresce (isto é, numericamente mais negativo→menos negativo quando diminui? lembre: decresce significa que os valores diminuem quando aumenta; no ramo negativo isso se interpreta corretamente pela derivada negativa), côncavo para baixo, aproximando-se de quando . Marcar . - Indicar as retas horizontais
e como assíntotas.
Isso dá o esboço clássico de
: dois ramos, vertical no zero, horizontais nos
, simetria ímpar.
Resposta
Domínio:
Raízes e paridade: sem raízes; é ímpar (
)
Assíntotas verticais: (
)
Assíntotas horizontais: (quando
) e
(quando
)
Crescimento/Decrescimento: não há crescimento; decresce em e em
(pois
)
Máximos/Mínimos: não há máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para baixo em e côncavo para cima em
; não há pontos de inflexão no domínio (mudança de concavidade ocorre em
, que não pertence ao domínio)
Esboço / pontos notáveis: assíntotas ,
,
; exemplo de pontos
e
; ramo direito: decrescente, côncavo para cima, vai de
em
para se aproximar de
; ramo esquerdo: simétrico ímpar (vai de
em
e aproxima-se de
quando
).
Raízes e paridade: sem raízes;
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais:
Crescimento/Decrescimento: não há crescimento; decresce em
Máximos/Mínimos: não há máximos nem mínimos (nem relativos nem absolutos) no domínio
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para baixo em
Esboço / pontos notáveis: assíntotas