Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
. Preciso responder, sucessivamente:
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e dizer se é par, ímpar ou nenhuma das opções. - Obter as assíntotas verticais (ou justificar a inexistência).
- Obter as assíntotas horizontais (ou justificar a inexistência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
. - Determinar pontos de máximo e mínimo (se houver) e se são relativos ou absolutos.
- Determinar intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão (se houver).
- Usar tudo isso para esboçar o gráfico de
e indicar as coordenadas dos pontos notáveis.
Passo 2
Domínio — o que precisamos verificar?
- O único problema potencial seria divisão por zero na expressão
. - Note que
para todo . Então para todo (é soma de dois positivos).
Conclusão: o denominador nunca é zero, logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
Passo 3
Raízes de
e paridade — definições rápidas antes de resolver:
- Raízes: valores de
tais que . -
é par se para todo ; é ímpar se para todo .
Agora as contas:
-
quando o numerador . Isso dá , logo e . Portanto há uma única raiz: , ponto . - Paridade: calcule
.
Como
para todo
,
é ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais — ideia e aplicação:
- Assíntota vertical ocorre onde o denominador zera (ou onde a função tende a
ao se aproximar de algum ponto do domínio). - Já vimos que
para todo , então não existe ponto onde o denominador zera. - Portanto não há assíntotas verticais.
Passo 5
Assíntotas horizontais — calcular limites em
.
- Para
: domina . Uma forma prática é dividir numerador e denominador por :
- Para
: divide por (ou usar simetria ímpar), tem-se
Conclusão: existem duas assíntotas horizontais:
e
.
Passo 6
Derivada primeira — vamos aprender a obter e interpretar:
- Usarei a regra do quociente: se
então . - Aqui
e . Então e .
Aplicando a regra:
Mas
, portanto
Como
, é a identidade conhecida para a tangente hiperbólica:
Expressão alternativa útil em termos de exponenciais:
Passo 7
Crescimento/decrescimento — usando o sinal da derivada:
- Observação:
para todo , então para todo . - Conclusão:
é estritamente crescente em todo . - Como não há regiões com
, não existe intervalo de decrescimento.
Passo 8
Máximos e mínimos — interpretação:
- Uma função estritamente crescente em todo o domínio não tem máximos ou mínimos locais (exceto possivelmente extremos nas fronteiras do domínio).
- Aqui o domínio é todo
e a função tende para quando e para quando , mas nunca atinge esses valores. - Portanto não há máximos nem mínimos no domínio. (Pode-se dizer que
e , mas não são atingidos.)
Passo 9
Concavidade e pontos de inflexão — usar a segunda derivada:
- A partir de
, derivando:
Forma alternativa (em exponenciais) não essencial agora, a forma em hiperbólicas é clara.
- Para analisar concavidade, olhamos o sinal de
: - Se
então e , logo : concavidade para baixo em . - Se
então e , logo : concavidade para cima em .
- Se
- Pontos de inflexão: onde
e troca de concavidade. quando , i.e. . Há troca de sinal em , logo é ponto de inflexão. Coordenada do ponto: .
Passo 10
Resumo geométrico e esboço orientado (instruções para desenhar):
- Tipo de curva: curva em forma de S (a tangente hiperbólica), ímpar e estritamente crescente.
- Assíntotas horizontais: retas
(para ) e (para ). - Sem assíntotas verticais.
- Ponto notável: raiz e ponto de inflexão em
. Nesse ponto (ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular em ). - Concavidade: côncava para cima em
e côncava para baixo em . - Crescimento: crescente em todo
. - Para esboçar: desenhar as retas horizontais
como guias, desenhar uma curva que cruza a origem, sobe passando próxima da reta à direita e próxima de à esquerda, com mudança de concavidade em . Marcar explicitamente e as assíntotas.
Resposta
Domínio:
Raízes e paridade: única raiz
(ponto
);
é ímpar.
Assíntotas verticais: não existem.
Assíntotas horizontais:
e
.
Intervalos de crescimento/decrescimento:
é estritamente crescente em
; não há intervalos de decrescimento.
Máximos e mínimos: não existem máximos nem mínimos no domínio (supremo
, ínfimo
, ambos não alcançados).
Concavidade e pontos de inflexão: côncava para cima em
, côncava para baixo em
; ponto de inflexão em
.
Esboço (descrição): curva em forma de S, ímpar e crescente, cruza a origem
com tangente de inclinação
em
; aproxima-se de
quando
e de
quando
.