Considere a seguinte função: \operatorname{tgh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função \operatorname{tgh}(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}. Preciso responder, sucessivamente:
  • Determinar o domínio de f.
  • (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e dizer se f é par, ímpar ou nenhuma das opções.
  • Obter as assíntotas verticais (ou justificar a inexistência).
  • Obter as assíntotas horizontais (ou justificar a inexistência).
  • Encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determinar pontos de máximo e mínimo (se houver) e se são relativos ou absolutos.
  • Determinar intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão (se houver).
  • Usar tudo isso para esboçar o gráfico de f e indicar as coordenadas dos pontos notáveis.

Passo 2

Domínio — o que precisamos verificar?
  • O único problema potencial seria divisão por zero na expressão \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
  • Note que e^{x}>0 para todo x. Então e^{x}+e^{-x}>0 para todo x (é soma de dois positivos).
    Conclusão: o denominador nunca é zero, logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Raízes de f e paridade — definições rápidas antes de resolver:
  • Raízes: valores de x tais que f(x)=0.
  • f é par se f(-x)=f(x) para todo x; é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x.
Agora as contas:
  • f(x)=0 quando o numerador e^{x}-e^{-x}=0. Isso dá e^{2x}=1, logo 2x=0 e x=0. Portanto há uma única raiz: x=0, ponto (0,0).
  • Paridade: calcule f(-x).
f(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}=\frac{-(e^{x}-e^{-x})}{e^{x}+e^{-x}}=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=-f(x).
Como f(-x)=-f(x) para todo x, f é ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais — ideia e aplicação:
  • Assíntota vertical ocorre onde o denominador zera (ou onde a função tende a \pm\infty ao se aproximar de algum ponto do domínio).
  • Já vimos que e^{x}+e^{-x}>0 para todo x, então não existe ponto onde o denominador zera.
  • Portanto não há assíntotas verticais.

Passo 5

Assíntotas horizontais — calcular limites em \pm\infty.
  • Para x\to+\infty: e^{x} domina e^{-x}. Uma forma prática é dividir numerador e denominador por e^{x}:
\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = \frac{1-0}{1+0}=1.
  • Para x\to-\infty: divide por e^{-x} (ou usar simetria ímpar), tem-se
\lim_{x\to-\infty} \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \lim_{x\to-\infty} \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \frac{0-1}{0+1}=-1.
Conclusão: existem duas assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.

Passo 6

Derivada primeira — vamos aprender a obter e interpretar:
  • Usarei a regra do quociente: se f=\dfrac{u}{v} então f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
  • Aqui u=e^{x}-e^{-x} e v=e^{x}+e^{-x}. Então u'=e^{x}+e^{-x}=v e v'=e^{x}-e^{-x}=u.
    Aplicando a regra:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{v\cdot v - u\cdot u}{v^2}=\frac{v^2-u^2}{v^2}=1-\left(\frac{u}{v}\right)^2.
Mas \dfrac{u}{v}=f(x), portanto
f'(x)=1-f(x)^2.
Como f(x)=\operatorname{tgh}(x), é a identidade conhecida para a tangente hiperbólica:
f'(x)=1-\operatorname{tgh}^2(x)=\operatorname{sech}^2(x).
Expressão alternativa útil em termos de exponenciais:
f'(x)=\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}.

Passo 7

Crescimento/decrescimento — usando o sinal da derivada:
  • Observação: \operatorname{sech}^2(x)>0 para todo x, então f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: f é estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
  • Como não há regiões com f'<0, não existe intervalo de decrescimento.

Passo 8

Máximos e mínimos — interpretação:
  • Uma função estritamente crescente em todo o domínio não tem máximos ou mínimos locais (exceto possivelmente extremos nas fronteiras do domínio).
  • Aqui o domínio é todo \mathbb{R} e a função tende para 1 quando x\to+\infty e para -1 quando x\to-\infty, mas nunca atinge esses valores.
  • Portanto não há máximos nem mínimos no domínio. (Pode-se dizer que \sup f=1 e \inf f=-1, mas não são atingidos.)

Passo 9

Concavidade e pontos de inflexão — usar a segunda derivada:
  • A partir de f'(x)=1-\operatorname{tgh}^2(x), derivando:
f''(x) = -2\,\operatorname{tgh}(x)\cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{tgh}(x)\big) = -2\,\operatorname{tgh}(x)\,\operatorname{sech}^2(x).
Forma alternativa (em exponenciais) não essencial agora, a forma em hiperbólicas é clara.
  • Para analisar concavidade, olhamos o sinal de f''(x):
    • Se x>0 então \operatorname{tgh}(x)>0 e \operatorname{sech}^2(x)>0, logo f''(x)<0: concavidade para baixo em (0,+\infty).
    • Se x<0 então \operatorname{tgh}(x)<0 e \operatorname{sech}^2(x)>0, logo f''(x)>0: concavidade para cima em (-\infty,0).
  • Pontos de inflexão: onde f''(x)=0 e troca de concavidade. f''(x)=0 quando \operatorname{tgh}(x)=0, i.e. x=0. Há troca de sinal em x=0, logo x=0 é ponto de inflexão. Coordenada do ponto: (0,0).

Passo 10

Resumo geométrico e esboço orientado (instruções para desenhar):
  • Tipo de curva: curva em forma de S (a tangente hiperbólica), ímpar e estritamente crescente.
  • Assíntotas horizontais: retas y=1 (para x\to+\infty) e y=-1 (para x\to-\infty).
  • Sem assíntotas verticais.
  • Ponto notável: raiz e ponto de inflexão em (0,0). Nesse ponto f'(0)=1 (ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular 1 em x=0).
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0) e côncava para baixo em (0,\infty).
  • Crescimento: crescente em todo \mathbb{R}.
  • Para esboçar: desenhar as retas horizontais y=\pm1 como guias, desenhar uma curva que cruza a origem, sobe passando próxima da reta y=1 à direita e próxima de y=-1 à esquerda, com mudança de concavidade em x=0. Marcar explicitamente (0,0) e as assíntotas.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Raízes e paridade: única raiz x=0 (ponto (0,0)); f é ímpar.
Assíntotas verticais: não existem.
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.
Intervalos de crescimento/decrescimento: f é estritamente crescente em (-\infty,\infty); não há intervalos de decrescimento.
Máximos e mínimos: não existem máximos nem mínimos no domínio (supremo =1, ínfimo =-1, ambos não alcançados).
Concavidade e pontos de inflexão: côncava para cima em (-\infty,0), côncava para baixo em (0,\infty); ponto de inflexão em (0,0).
Esboço (descrição): curva em forma de S, ímpar e crescente, cruza a origem (0,0) com tangente de inclinação 1 em x=0; aproxima-se de y=1 quando x\to+\infty e de y=-1 quando x\to-\infty.

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